kaoyan3basic 线性代数 第372题

答案：A
解析：
将 $a=-2$ 代入矩阵 $A$，得
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
3 & -2 & 2 \\
-2 & 4 & -2
\end{pmatrix}
$$
进行初等行变换：
第一行不变，第二行减去3倍第一行，第三行加2倍第一行：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & -8 & 2 \\
0 & 8 & -2
\end{pmatrix}
$$
第三行加第二行得：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & -8 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
可见此时矩阵秩为2，因此 $a=-2$ 能推出 $r(A)=2$，是充分条件。

反过来，若 $r(A)=2$，则行列式 $|A|=0$。计算行列式：
$$
\det(A) = 1\cdot(a\cdot a - 2\cdot4) - 2\cdot(3\cdot a - 2\cdot a) + 0
= (a^2 - 8) - 2(3a - 2a) = a^2 - 8 - 2a
$$
令其为零得 $a^2 - 2a - 8 = 0$，解得 $a=4$ 或 $a=-2$。
当 $a=4$ 时，代入矩阵可验证秩也为2（例如第一行与第二行不成比例，且第三行可由前两行线性表示），因此 $r(A)=2$ 时 $a$ 不一定为 $-2$，也可能是4。所以 $a=-2$ 不是必要条件。

综上，$a=-2$ 是 $r(A)=2$ 的充分而非必要条件。

难度：★★☆☆☆