kaoyan3basic 线性代数 第373题
📝 题目
第373题
373 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & a \\ 2 & 3 & a & 4 \\ 3 & 5 & 1 & 9\end{array}\right], \boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，若 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$ ，则 $a=$
（A） 3 ．
（B） 2 ．
（C） 1 ．
（D） 1 或 3 ．
💡 答案解析
答案：D
解析：
对于方阵 $A$，其伴随矩阵 $A^*$ 的秩满足如下关系：
- 若 $r(A) = n$，则 $r(A^*) = n$；
- 若 $r(A) = n-1$，则 $r(A^*) = 1$；
- 若 $r(A) < n-1$，则 $r(A^*) = 0$。
本题中矩阵为 4 阶方阵，已知 $r(A^*) = 1$，说明 $r(A) = 3$（即 $4-1=3$）。
因此需要计算矩阵 $A$ 的行列式，并令其等于 0（因为秩小于 4），同时还要保证其 3 阶子式不全为 0（以确保秩恰好为 3）。
先计算行列式：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & a \\
2 & 3 & a & 4 \\
3 & 5 & 1 & 9
\end{pmatrix}
$$
用第一行消去下面行：
第3行减去2倍第1行：$(2-2, 3-2, a-2, 4-2) = (0,1, a-2, 2)$
第4行减去3倍第1行：$(3-3, 5-3, 1-3, 9-3) = (0,2, -2, 6)$
此时矩阵变为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & a \\
0 & 1 & a-2 & 2 \\
0 & 2 & -2 & 6
\end{pmatrix}
$$
按第一列展开，行列式等于下面 3 阶子式的行列式：
$$
\det(A) = \begin{vmatrix}
1 & -1 & a \\
1 & a-2 & 2 \\
2 & -2 & 6
\end{vmatrix}
$$
计算这个 3 阶行列式：
第2行减去第1行：$(0, a-1, 2-a)$
第3行减去2倍第1行：$(0, 0, 6-2a)$
于是行列式变为：
$$
\det(A) = \begin{vmatrix}
1 & -1 & a \\
0 & a-1 & 2-a \\
0 & 0 & 6-2a
\end{vmatrix}
= 1 \cdot (a-1)(6-2a)
$$
所以 $\det(A) = (a-1)(6-2a) = 2(a-1)(3-a)$。
令其等于 0，得 $a=1$ 或 $a=3$。
还需验证此时秩是否为 3（即存在 3 阶子式非零）。
- 当 $a=1$ 时，取前 3 行前 3 列的子式：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
2 & 3 & 1
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & -1
\end{vmatrix} = 0
$$
但可换其他子式，例如取第1、2、4行和第1、2、4列：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & a \\
3 & 5 & 9
\end{vmatrix}_{a=1}
= \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
3 & 5 & 9
\end{vmatrix}
= 1\cdot(9-5) -1\cdot(0-3) +1\cdot(0-3) = 4+3-3=4 \neq 0
$$
所以秩为3。
- 当 $a=3$ 时，取前3行前3列子式：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
2 & 3 & 3
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= 1\cdot(1\cdot1 - (-1)\cdot1) = 2 \neq 0
$$
秩也为3。
因此 $a=1$ 或 $a=3$ 均满足条件。
难度：★★☆☆☆