kaoyan3basic 线性代数 第294题
📝 题目
第294题
294 设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=3$ ，将 $\boldsymbol{A}$ 的第二列的 -5 倍加到第一列得到矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{\cdot} \boldsymbol{B} \mid=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
好的，我们先根据题意一步步推理，然后给出最终答案。题目中涉及矩阵的初等列变换与行列式的关系，以及伴随矩阵的性质。
第一步：理解列变换与行列式的关系
将矩阵 A 的第二列的 -5 倍加到第一列，这是一个初等列变换，对应的初等矩阵是
$$
E = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-5 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
并且有
$$
B = A E
$$
由于初等矩阵 E 的行列式为 1（因为它是把一列的倍数加到另一列，不改变行列式的值），所以
$$
|B| = |A| \cdot |E| = 3 \times 1 = 3
$$
第二步：题目要求的是
题目中写的是“则 $\boldsymbol{A}^{\cdot} \boldsymbol{B} \mid=$”，这里符号可能是排版问题，通常“A·B”可能是指伴随矩阵与B相乘，或者是指行列式。结合常见题型，这里应该是求
$$
|A^* B|
$$
其中 $A^*$ 表示 A 的伴随矩阵。
第三步：伴随矩阵的行列式性质
对于 3 阶矩阵，有
$$
|A^*| = |A|^{n-1} = |A|^{2} = 3^2 = 9
$$
因此
$$
|A^* B| = |A^*| \cdot |B| = 9 \times 3 = 27
$$
所以最终答案为 27。
答案：27
解析：由列变换得 B = AE，|B| = |A| = 3；伴随矩阵的行列式 |A*| = |A|^{2} = 9，故 |A*B| = 9×3 = 27。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解列变换与行列式的关系
将矩阵A的第二列的-5倍加到第一列，对应的初等矩阵E为[[1,0,0],[-5,1,0],[0,0,1]]，且B=AE。由于初等列变换不改变行列式，|E|=1，故|B|=|A|·|E|=3×1=3。
公式：B = A E, |B| = |A|·|E|
提示：初等列变换对应的初等矩阵右乘原矩阵，且其行列式为1。
步骤 2/3
目标：计算伴随矩阵的行列式
对于3阶矩阵A，有|A*| = |A|^{n-1} = |A|^2 = 3^2 = 9。
公式：|A*| = |A|^{n-1}
提示：n阶矩阵的伴随矩阵的行列式等于原矩阵行列式的n-1次方。
步骤 3/3
目标：计算所求行列式
所求为|A*B|，由行列式乘法性质得|A*B| = |A*|·|B| = 9×3 = 27。
公式：|A*B| = |A*|·|B|
提示：行列式乘积性质：|AB| = |A|·|B|。
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