kaoyan3basic 线性代数 第295题
📝 题目
第295题
295 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ ，又 $\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{B}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
好的，我们先根据题目条件一步步推理。题目中给出了矩阵 A，以及矩阵方程 BA = A + 2B，要求解 B。我们先整理这个方程。
第一步：将方程化为标准形式
已知
$$
BA = A + 2B
$$
把含有 B 的项移到一边：
$$
BA - 2B = A
$$
提取公因子（注意矩阵乘法顺序）：
$$
B(A - 2I) = A
$$
这里 I 是单位矩阵。
第二步：判断 A - 2I 是否可逆
A 是下三角矩阵：
$$
A = \begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}
$$
那么
$$
A - 2I = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
$$
显然它的行列式为 1（下三角矩阵，对角线乘积），可逆。
第三步：求逆矩阵
这个矩阵的逆很容易求，因为它是初等矩阵形式：
$$
(A - 2I)^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
$$
我们可以验证一下：
$$
\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
= I
$$
第四步：解出 B
由
$$
B (A - 2I) = A
$$
两边右乘 $(A - 2I)^{-1}$：
$$
B = A (A - 2I)^{-1}
$$
代入计算：
$$
B = \begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
$$
先算第一行：
(3×1 + 0×(-2) + 0×0, 3×0+0×1+0×0, 3×0+0×0+0×1) = (3, 0, 0)
第二行：
(2×1 + 3×(-2) + 0×0, 2×0+3×1+0×0, 2×0+3×0+0×1) = (2 - 6, 3, 0) = (-4, 3, 0)
第三行：
(0×1+0×(-2)+3×0, 0×0+0×1+3×0, 0×0+0×0+3×1) = (0, 0, 3)
所以
$$
B = \begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}
$$
第五步：检查
我们可快速验证 BA 是否等于 A+2B：
BA 第一列：B乘A第一列 (3,2,0)^T → (9, -12+6, 0) = (9, -6, 0)
A+2B 第一列：A第一列 (3,2,0) + 2B第一列 (6, -8, 0) = (9, -6, 0)，一致。其他列同理可验证。
所以最终答案就是上面这个矩阵。
答案：
$$
\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}
$$
解析：由 BA = A + 2B 移项得 B(A - 2I) = A，求出 A - 2I 的逆矩阵后右乘即得 B。
难度：★☆☆☆☆