kaoyan3basic 线性代数 第297题

好的，我们先分析题目给出的矩阵方程，然后一步步解出未知矩阵A。题目中给的方程是：

$$
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}
$$

我们设矩阵 $A$ 是 $2 \times 2$ 的未知矩阵，记为
$$
A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
$$

那么左边相乘得到：
$$
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a + c & b + d \\
2a + 2c & 2b + 2d
\end{bmatrix}
$$

这个结果要等于右边的矩阵：
$$
\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}
$$

于是得到方程组：
1. $a + c = 2$
2. $b + d = 3$
3. $2a + 2c = 4$
4. $2b + 2d = 6$

注意第3个方程其实就是第一个方程两边乘以2，第4个方程是第二个方程两边乘以2，所以实际上只有两个独立条件：
$$
a + c = 2,\quad b + d = 3
$$

这意味着 $a$ 和 $c$ 只要和为2即可，$b$ 和 $d$ 只要和为3即可，没有唯一解。题目可能隐含要求我们给出一个通解形式，或者题目设计时默认我们取最简单的形式，比如令自由变量为0。

通常这类填空题，若没有额外说明，我们可以取 $c=0$，则 $a=2$；取 $d=0$，则 $b=3$，得到：
$$
A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
$$

也可以取其他形式，但最简单的非零元素尽量少的形式就是上面这个。

答案：$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

解析：由矩阵乘法得到线性方程组，发现系数矩阵行成比例，导致解不唯一，取自由变量为零得到特解。

难度：★☆☆☆☆