kaoyan3basic 线性代数 第298题
📝 题目
第298题
298 四阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足 $2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+6 \boldsymbol{E}$ ，若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{B}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
好的，我们先整理一下题目信息，然后一步步推导出矩阵 B。题目是四阶矩阵方程，并且给出了具体的矩阵 A。
第一步：化简矩阵方程
已知：
$$
2 A B A^{-1} = A B + 6E
$$
两边同时左乘 $ A^{-1} $：
$$
2 B A^{-1} = B + 6 A^{-1}
$$
再右乘 A：
$$
2 B = B A + 6E
$$
于是得到：
$$
2B - BA = 6E
$$
即：
$$
B(2E - A) = 6E
$$
所以：
$$
B = 6 (2E - A)^{-1}
$$
第二步：计算矩阵 A 的具体形式
A 是分块对角矩阵：
$$
A = \begin{pmatrix}
A_1 & 0 \\
0 & A_2
\end{pmatrix}
$$
其中：
$$
A_1 = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 1 & 3\end{pmatrix}, \quad
A_2 = \begin{pmatrix}0 & 2 \\ -1 & 0\end{pmatrix}
$$
第三步：分别求两个分块的逆
先算 $ 2E - A $：
对于第一块：
$$
2E_2 - A_1 = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 1 & 3\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1 & -2 \\ -1 & -1\end{pmatrix}
$$
它的逆矩阵：
行列式 = $1 \cdot (-1) - (-2)(-1) = -1 - 2 = -3$
所以逆为：
$$
\frac{1}{-3} \begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{pmatrix}
$$
对于第二块：
$$
2E_2 - A_2 = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & 2 \\ -1 & 0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}2 & -2 \\ 1 & 2\end{pmatrix}
$$
行列式 = $2\cdot 2 - (-2)\cdot 1 = 4 + 2 = 6$
逆矩阵：
$$
\frac{1}{6} \begin{pmatrix}2 & 2 \\ -1 & 2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3}\end{pmatrix}
$$
第四步：乘以 6 得到 B
第一块：
$$
6 \times \begin{pmatrix}\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}2 & -4 \\ -2 & -2\end{pmatrix}
$$
第二块：
$$
6 \times \begin{pmatrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3}\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}2 & 2 \\ -1 & 2\end{pmatrix}
$$
第五步：组合成四阶矩阵
所以：
$$
B = \begin{pmatrix}
2 & -4 & 0 & 0 \\
-2 & -2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 2 \\
0 & 0 & -1 & 2
\end{pmatrix}
$$
最终答案：
$$
\boxed{\begin{pmatrix}2 & -4 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 2\end{pmatrix}}
$$
解析：先化简矩阵方程得到 B 与 A 的关系，利用分块矩阵分别求逆，再乘以系数得到结果。
难度：★★☆☆☆