人邮高数 第2章 第2-6-3题

[AI解答]

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以下为各小题的极值求解过程，包括定义域、一阶导数、驻点、不可导点及二阶导数或符号判定。

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（1）$ y = 2x^{3} - 6x^{2} - 18x + 7 $

定义域：$\mathbb{R}$
一阶导数：
$$
y' = 6x^{2} - 12x - 18 = 6(x^{2} - 2x - 3) = 6(x-3)(x+1)
$$
驻点：$x=-1$，$x=3$
二阶导数：
$$
y'' = 12x - 12
$$
- 当 $x=-1$，$y''=-24<0$，极大值
$$
y(-1) = -2 - 6 + 18 + 7 = 17
$$
- 当 $x=3$，$y''=24>0$，极小值
$$
y(3) = 54 - 54 - 54 + 7 = -47
$$

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（2）$ y = x^{2} \ln x $

定义域：$x>0$
一阶导数：
$$
y' = 2x \ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x = x(2\ln x + 1)
$$
令 $y'=0$，得 $x>0$，则 $2\ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-1/2}$
二阶导数：
$$
y'' = 2\ln x + 1 + 2 = 2\ln x + 3
$$
代入 $x=e^{-1/2}$：
$$
y'' = 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = -1 + 3 = 2 > 0
$$
极小值：
$$
y(e^{-1/2}) = e^{-1} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2e}
$$

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（3）$ y = 2 - (x-1)^{\frac{2}{3}} $

定义域：$\mathbb{R}$
一阶导数：
$$
y' = -\frac{2}{3}(x-1)^{-1/3}
$$
当 $x=1$ 时导数不存在（分母为零），且 $x\neq 1$ 时导数不为零。
考察 $x=1$ 左右：
- $x<1$，$(x-1)^{-1/3}<0$，故 $y'>0$
- $x>1$，$(x-1)^{-1/3}>0$，故 $y'<0$
因此 $x=1$ 处取极大值：
$$
y(1) = 2 - 0 = 2
$$

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（4）$ y = x^{2} e^{-x^{2}} $

定义域：$\mathbb{R}$
一阶导数：
$$
y' = 2x e^{-x^{2}} + x^{2} e^{-x^{2}}(-2x) = 2x e^{-x^{2}} (1 - x^{2})
$$
令 $y'=0$，得 $x=0$，$x= \pm 1$
二阶导数（可计算符号或列表）：
- $x=-1$，左正右负？实际检验：当 $x<-1$，$y'<0$；$-10$，故 $x=-1$ 为极小
- $x=0$，$-10$，$0- $x=1$，$00$，$x>1$ 时 $y'<0$，故极小
计算：
$$
y(\pm 1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}, \quad y(0)=0
$$
极小值 $0$，极大值 $\frac{1}{e}$

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（5）$ y = x + \frac{1}{x} $

定义域：$x\neq 0$
一阶导数：
$$
y' = 1 - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}
$$
驻点：$x=\pm 1$
二阶导数：
$$
y'' = \frac{2}{x^{3}}
$$
- $x=1$，$y''=2>0$，极小值 $y(1)=2$
- $x=-1$，$y''=-2<0$，极大值 $y(-1)=-2$

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（6）$ y = 3 - 2(x+1)^{1/3} $

定义域：$\mathbb{R}$
一阶导数：
$$
y' = -\frac{2}{3}(x+1)^{-2/3}
$$
导数恒负（除 $x=-1$ 处不可导），无驻点。
在 $x=-1$ 处，函数连续，但左右导数均为负，故不是极值点。
结论：无极值。

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（7）$ y = \arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) $

定义域：$\mathbb{R}$
一阶导数：
$$
y' = \frac{1}{1+x^{2}} - \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}} = \frac{1 - x}{1+x^{2}}
$$
驻点：$x=1$
二阶导数：
$$
y'' = \frac{-(1+x^{2}) - (1-x)(2x)}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{-1 - x^{2} - 2x + 2x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{x^{2} - 2x - 1}{(1+x^{2})^{2}}
$$
代入 $x=1$：
$$
y''(1) = \frac{1 - 2 - 1}{(2)^{2}} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} < 0
$$
极大值：
$$
y(1) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2
$$

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（8）$ y = 2x - \ln(4x)^{2} $

注意：$\ln(4x)^{2} = 2\ln|4x|$，定义域 $x\neq 0$
化简：
$$
y = 2x - 2\ln|4x| = 2x - 2(\ln 4 + \ln|x|) = 2x - 2\ln|x| - 2\ln 4
$$
一阶导数：
$$
y' = 2 - \frac{2}{x} = \frac{2x - 2}{x} = \frac{2(x-1)}{x}
$$
驻点：$x=1$（注意 $x=0$ 不在定义域）
二阶导数：
$$
y'' = \frac{2}{x^{2}} > 0 \quad (x\neq 0)
$$
故 $x=1$ 为极小值点：
$$
y(1) = 2 - \ln 4^{2} = 2 - \ln 16 = 2 - 4\ln 2
$$

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难度评级：★★☆☆☆
整体属于常规一元函数极值问题，包含多项式、分式、根式、对数、反三角等，只需注意定义域与不可导点即可。