人邮高数 第2章 第2-6-4题
📝 题目
4．讨论方程 $\ln x=a x$（其中 $a\gt 0$ ）有几个实根。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们考虑方程
$$
\ln x = a x, \quad a > 0.
$$
定义函数
$$
f(x) = \ln x - a x, \quad x > 0.
$$
方程实根个数即函数 $f(x)$ 的零点个数。
首先求导：
$$
f'(x) = \frac{1}{x} - a.
$$
令 $f'(x) = 0$，得
$$
\frac{1}{x} = a \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{a}.
$$
这是唯一驻点。
当 $0 < x < \frac{1}{a}$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增；
当 $x > \frac{1}{a}$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减。
因此 $x = \frac{1}{a}$ 是全局最大值点。
最大值：
$$
f_{\max} = f\!\left(\frac{1}{a}\right) = \ln\frac{1}{a} - a \cdot \frac{1}{a} = -\ln a - 1.
$$
考虑极限：
当 $x \to 0^+$ 时，$\ln x \to -\infty$，而 $-a x \to 0$，所以
$$
\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty.
$$
当 $x \to +\infty$ 时，$\ln x$ 增长慢于线性项 $-a x$，所以
$$
\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty.
$$
因此，根据最大值符号讨论：
1. 若 $-\ln a - 1 > 0$，即 $\ln a < -1$，亦即 $0 < a < e^{-1}$，则最大值大于零，函数图像先增后减，且两端趋于负无穷，因此与 $x$ 轴有两个交点，方程有两个实根。
2. 若 $-\ln a - 1 = 0$，即 $a = e^{-1}$，则最大值等于零，函数图像与 $x$ 轴恰好相切于一点，方程有一个实根（重根）。
3. 若 $-\ln a - 1 < 0$，即 $a > e^{-1}$，则最大值小于零，函数图像始终在 $x$ 轴下方，方程无实根。
结论：
- 当 $0 < a < e^{-1}$ 时，方程有两个实根；
- 当 $a = e^{-1}$ 时，方程有一个实根；
- 当 $a > e^{-1}$ 时，方程没有实根。
难度：★★☆☆☆