人邮高数 第2章 第2-7-1题
📝 题目
1．求下列函数在给定区间上的最大值和最小值：
（1）$y=x^{4}-2 x^{2}+5,[-2,2]$ ；
（2）$y=\sqrt{x(10-x)},[0,10]$ ；
（3）$y=x+\sqrt{1-x},[-5,1]$ ；
（4）$\displaystyle y=\frac{x^{2}}{1+x},\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1） $y=x^{4}-2x^{2}+5,\ [-2,2]$
先求导数：
$$
y' = 4x^{3} - 4x = 4x(x^{2} - 1) = 4x(x-1)(x+1)
$$
令 $y'=0$，得驻点 $x=0,\ x=1,\ x=-1$，均在区间 $[-2,2]$ 内。
计算函数值：
$$
\begin{aligned}
y(-2) &= (-2)^4 - 2(-2)^2 + 5 = 16 - 8 + 5 = 13,\\
y(-1) &= 1 - 2 + 5 = 4,\\
y(0) &= 0 - 0 + 5 = 5,\\
y(1) &= 1 - 2 + 5 = 4,\\
y(2) &= 16 - 8 + 5 = 13.
\end{aligned}
$$
比较得：最大值 $13$，最小值 $4$。
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（2） $y=\sqrt{x(10-x)},\ [0,10]$
定义域内 $x(10-x) \ge 0$ 满足。令 $f(x)=x(10-x)=10x - x^{2}$，则 $y=\sqrt{f(x)}$。
$f'(x)=10-2x$，令 $f'(x)=0$ 得 $x=5$，在区间内。
计算：
$$
y(0) = \sqrt{0}=0,\quad y(5)=\sqrt{25}=5,\quad y(10)=\sqrt{0}=0.
$$
最大值 $5$，最小值 $0$。
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（3） $y=x+\sqrt{1-x},\ [-5,1]$
定义域要求 $1-x\ge 0$，即 $x\le 1$，区间满足。
求导：
$$
y' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{1-x}}.
$$
令 $y'=0$：
$$
1 - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} = 0 \quad\Rightarrow\quad 2\sqrt{1-x}=1 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{1-x}=\frac12 \quad\Rightarrow\quad 1-x=\frac14 \quad\Rightarrow\quad x=\frac34.
$$
计算端点与驻点：
$$
\begin{aligned}
y(-5) &= -5 + \sqrt{1-(-5)} = -5 + \sqrt{6} \approx -5 + 2.449 = -2.551,\\
y\left(\frac34\right) &= \frac34 + \sqrt{1-\frac34} = \frac34 + \frac12 = 1.25,\\
y(1) &= 1 + 0 = 1.
\end{aligned}
$$
比较得：最大值 $1.25$，最小值 $-5+\sqrt{6}$。
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（4） $\displaystyle y=\frac{x^{2}}{1+x},\ \left[-\frac12, 1\right]$
求导：
$$
y' = \frac{2x(1+x) - x^{2}\cdot 1}{(1+x)^{2}} = \frac{2x+2x^{2} - x^{2}}{(1+x)^{2}} = \frac{x^{2}+2x}{(1+x)^{2}} = \frac{x(x+2)}{(1+x)^{2}}.
$$
令 $y'=0$ 得 $x=0$ 或 $x=-2$（不在区间内舍去），故驻点 $x=0$。
计算：
$$
\begin{aligned}
y\left(-\frac12\right) &= \frac{\frac14}{1-\frac12} = \frac{\frac14}{\frac12} = \frac12,\\
y(0) &= 0,\\
y(1) &= \frac{1}{2} = 0.5.
\end{aligned}
$$
比较得：最大值 $\displaystyle\frac12$，最小值 $0$。
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难度评级：★★☆☆☆