人邮高数 第2章 第2-7-10题
📝 题目
10．在椭圆 $\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 上找一点 $P(x, y)$ ，使椭圆在该点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积最小。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求椭圆上一点 $P(x,y)$，使得该点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积最小。
第一步：写出椭圆方程并求切线方程
椭圆方程为
$$
x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1.
$$
对两边关于 $x$ 求导（隐函数求导）：
$$
2x + \frac{2y}{4} y' = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x + \frac{y}{2} y' = 0.
$$
解得
$$
y' = -\frac{4x}{y}.
$$
所以在点 $(x_0, y_0)$ 处的切线斜率为 $k = -\frac{4x_0}{y_0}$，切线方程为
$$
y - y_0 = -\frac{4x_0}{y_0}(x - x_0).
$$
第二步：求切线在两坐标轴上的截距
令 $x=0$，得纵截距
$$
y_{\text{截}} = y_0 + \frac{4x_0^2}{y_0} = \frac{y_0^2 + 4x_0^2}{y_0}.
$$
由椭圆方程 $4x_0^2 + y_0^2 = 4$，所以
$$
y_{\text{截}} = \frac{4}{y_0}.
$$
令 $y=0$，得横截距
$$
0 - y_0 = -\frac{4x_0}{y_0}(x_{\text{截}} - x_0) \quad\Rightarrow\quad -y_0 = -\frac{4x_0}{y_0}(x_{\text{截}} - x_0).
$$
两边乘以 $-1$：
$$
y_0 = \frac{4x_0}{y_0}(x_{\text{截}} - x_0).
$$
所以
$$
x_{\text{截}} - x_0 = \frac{y_0^2}{4x_0} \quad\Rightarrow\quad x_{\text{截}} = x_0 + \frac{y_0^2}{4x_0} = \frac{4x_0^2 + y_0^2}{4x_0}.
$$
由椭圆方程 $4x_0^2 + y_0^2 = 4$，得
$$
x_{\text{截}} = \frac{4}{4x_0} = \frac{1}{x_0}.
$$
第三步：三角形面积表达式
切线与两坐标轴围成直角三角形，面积为
$$
S = \frac{1}{2} \times |x_{\text{截}}| \times |y_{\text{截}}| = \frac{1}{2} \left|\frac{1}{x_0}\right| \cdot \left|\frac{4}{y_0}\right| = \frac{2}{|x_0 y_0|}.
$$
由于椭圆对称，我们可先考虑第一象限 $x_0>0, y_0>0$，则
$$
S = \frac{2}{x_0 y_0}.
$$
由椭圆方程 $y_0 = 2\sqrt{1 - x_0^2}$，代入得
$$
S(x_0) = \frac{2}{x_0 \cdot 2\sqrt{1 - x_0^2}} = \frac{1}{x_0 \sqrt{1 - x_0^2}}, \quad 0 < x_0 < 1.
$$
第四步：求面积最小值
令 $f(x) = x \sqrt{1 - x^2}$，则 $S = \frac{1}{f(x)}$，要使 $S$ 最小，即 $f(x)$ 最大。
求导：
$$
f'(x) = \sqrt{1 - x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - x^2 - x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}}.
$$
令 $f'(x)=0$，得
$$
1 - 2x^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{\sqrt{2}}.
$$
此时
$$
y = 2\sqrt{1 - \frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.
$$
最小面积为
$$
S_{\min} = \frac{2}{x y} = \frac{2}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{1} = 2.
$$
由对称性，四个象限对应的点 $(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \pm \sqrt{2})$ 均满足条件。
最终答案：
$$
\boxed{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{2}\right),\ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{2}\right),\ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\sqrt{2}\right),\ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\sqrt{2}\right)}
$$
最小面积为 $2$。
难度：★★☆☆☆