人邮高数 第2章 第2-7-11题
📝 题目
11．某工厂要建造一个容积为 $300 \mathrm{~m}^{3}$ 的带盖圆桶，问：半径 $r$ 和桶高 $h$ 如何确定，才能使所用材料最省？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
设圆桶的底面半径为 $ r $（单位：m），高为 $ h $（单位：m），则容积条件为
$$
V = \pi r^{2} h = 300
$$
由此解出
$$
h = \frac{300}{\pi r^{2}}
$$
所用材料即圆桶的表面积（包括上、下底和侧面），其公式为
$$
S = 2\pi r^{2} + 2\pi r h
$$
将 $ h $ 代入，得
$$
S(r) = 2\pi r^{2} + 2\pi r \cdot \frac{300}{\pi r^{2}} = 2\pi r^{2} + \frac{600}{r}
$$
定义域为 $ r > 0 $。
为求最小值，对 $ S(r) $ 求导：
$$
S'(r) = \frac{d}{dr}\left( 2\pi r^{2} + 600 r^{-1} \right) = 4\pi r - \frac{600}{r^{2}}
$$
令 $ S'(r) = 0 $：
$$
4\pi r - \frac{600}{r^{2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad 4\pi r^{3} = 600
$$
$$
r^{3} = \frac{600}{4\pi} = \frac{150}{\pi}
$$
$$
r = \sqrt[3]{\frac{150}{\pi}}
$$
此时对应高度
$$
h = \frac{300}{\pi r^{2}} = \frac{300}{\pi \left( \frac{150}{\pi} \right)^{2/3}} = \frac{300}{\pi} \cdot \left( \frac{\pi}{150} \right)^{2/3}
$$
化简：
$$
h = 300 \cdot \pi^{-1} \cdot \pi^{2/3} \cdot 150^{-2/3} = 300 \cdot \pi^{-1/3} \cdot 150^{-2/3}
$$
注意到 $ 300 = 2 \times 150 $，因此
$$
h = 2 \cdot 150 \cdot \pi^{-1/3} \cdot 150^{-2/3} = 2 \cdot 150^{1/3} \cdot \pi^{-1/3} = 2 \sqrt[3]{\frac{150}{\pi}}
$$
即
$$
h = 2r
$$
检查二阶导数：
$$
S''(r) = 4\pi + \frac{1200}{r^{3}} > 0
$$
故该点为极小值点，也是最小值点。
因此，当半径 $ r = \sqrt[3]{\frac{150}{\pi}} $ 米，高 $ h = 2r $ 时，所用材料最省。
难度：★★☆☆☆