人邮高数 第1章 第1-2-1题

[AI解答]

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以下是对习题1-2中10个小题的详细解答。
我们将逐一判断数列的收敛性，若收敛则指出极限，并给出简要理由。

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(1) $\displaystyle x_n = \frac{1}{a^n} \quad (a>1)$

由于 $a>1$，当 $n\to\infty$ 时，$a^n \to +\infty$，因此
$$
\lim_{n\to\infty} x_n = 0
$$
数列收敛，极限为 $0$。

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(2) $\displaystyle x_n = 2^{\frac{1}{n}}$

当 $n\to\infty$ 时，$\displaystyle \frac{1}{n}\to 0$，而指数函数连续，故
$$
\lim_{n\to\infty} 2^{\frac{1}{n}} = 2^0 = 1
$$
数列收敛，极限为 $1$。

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(3) $x_n = (-1)^n n$

当 $n$ 为偶数时，$x_n = n \to +\infty$；当 $n$ 为奇数时，$x_n = -n \to -\infty$。
数列不趋向于一个确定的有限数，故发散。

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(4) $\displaystyle x_n = \frac{n+2}{n+3}$

将分子分母同除以 $n$：
$$
x_n = \frac{1 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{3}{n}} \to \frac{1+0}{1+0} = 1
$$
数列收敛，极限为 $1$。

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(5) $\displaystyle x_n = \frac{n}{2^n}$

当 $n$ 充分大时，指数增长远快于线性增长，故
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{2^n} = 0
$$
（也可用比值法或洛必达法则验证）
数列收敛，极限为 $0$。

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(6) $\displaystyle x_n = \ln \frac{1}{n} = -\ln n$

当 $n\to\infty$ 时，$\ln n \to +\infty$，因此 $-\ln n \to -\infty$，不趋于有限数。
数列发散。

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(7) $\displaystyle x_n = \frac{n}{n^2+1}$

分子分母同除以 $n$：
$$
x_n = \frac{1}{n + \frac{1}{n}} \to 0
$$
数列收敛，极限为 $0$。

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(8) $\displaystyle x_n = \frac{\sqrt{n^2+1}}{n}$

化简：
$$
x_n = \frac{\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n^2})}}{n} = \frac{n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{n} = \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} \to 1
$$
数列收敛，极限为 $1$。

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(9) $x_n = 0.\underbrace{999\cdots 9}_{n\text{个}9}$

该数列为 $0.9, 0.99, 0.999, \dots$，显然单调递增且有上界 $1$，极限为
$$
\lim_{n\to\infty} x_n = 1
$$
数列收敛，极限为 $1$。

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(10) $\displaystyle x_n = \frac{\sin n}{(n+1)^2}$

由于 $|\sin n| \le 1$，故
$$
0 \le |x_n| \le \frac{1}{(n+1)^2} \to 0
$$
由夹逼定理，$x_n \to 0$。
数列收敛，极限为 $0$。

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总结答案：
收敛数列：(1)、(2)、(4)、(5)、(7)、(8)、(9)、(10)
发散数列：(3)、(6)