人邮高数 第1章 第1-2-2题

[AI解答]

[AI解答]

以下为各极限的详细解答：

---

（1）
$$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} \frac{n^{2}-1}{2n^{2}+3n}$$

分子分母同除以 $n^2$：
$$\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{1}{n^2}}{2+\frac{3}{n}} = \frac{1-0}{2+0} = \frac12$$

答案： $\dfrac12$

---

（2）
$$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{2n^{3}}$$

展开分子最高次为 $n^3$，系数为 $1$，分母为 $2n^3$，故：
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+6n^2+11n+6}{2n^3} = \frac12$$

答案： $\dfrac12$

---

（3）
$$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} \frac{2^{n}+1}{3^{n}-1}$$

分子分母同除以 $3^n$：
$$\lim_{n\to\infty}\frac{(2/3)^n + 1/3^n}{1 - 1/3^n} = \frac{0+0}{1-0}=0$$

答案： $0$

---

（4）
$$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} \frac{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}}$$

已知公式：
$$1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
代入：
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac1n)(2+\frac1n)}{6} = \frac{2}{6} = \frac13$$

答案： $\dfrac13$

---

（5）
$$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty}\left(\frac{1+2+\cdots+n}{n}-\frac{n}{2}\right)$$

$$1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$$
所以：
$$\frac{n(n+1)}{2n} - \frac{n}{2} = \frac{n+1}{2} - \frac{n}{2} = \frac12$$

答案： $\dfrac12$

---

（6）
$$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+1}\right)$$

有理化：
$$\frac{(n^2+n)-(n^2+1)}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+1}} = \frac{n-1}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+1}}$$
分子分母同除以 $n$：
$$\frac{1-\frac1n}{\sqrt{1+\frac1n}+\sqrt{1+\frac1{n^2}}} \to \frac{1}{1+1} = \frac12$$

答案： $\dfrac12$

---

（7）
$$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} n\left(\sqrt{n^{2}+1}-n\right)$$

有理化：
$$n\left(\frac{(n^2+1)-n^2}{\sqrt{n^2+1}+n}\right) = n\cdot\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n} = \frac{n}{n\left(\sqrt{1+\frac1{n^2}}+1\right)}$$
化简：
$$\frac{1}{\sqrt{1+\frac1{n^2}}+1} \to \frac{1}{1+1} = \frac12$$

答案： $\dfrac12$

---

（8）
$$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty}\left(\sqrt[n^{2}]{2} \cdot \sqrt[n^{2}]{2^{2}} \cdot \sqrt[n^{2}]{2^{3}} \cdots \cdot \sqrt[n^{2}]{2^{n}}\right)$$

乘积化为：
$$\prod_{k=1}^n 2^{k/n^2} = 2^{\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k} = 2^{\frac{n(n+1)}{2n^2}} = 2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}}$$
当 $n\to\infty$，指数趋于 $\displaystyle \frac12$，故极限为：
$$\sqrt{2}$$

答案： $\sqrt{2}$

---

（9）
$$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty}[\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}]$$

利用求和公式：
$$\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}} - \sqrt{\frac{(n-1)n}{2}}$$
有理化：
$$\frac{\frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n-1)}{2}}{\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}}+\sqrt{\frac{n(n-1)}{2}}} = \frac{n}{\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}}+\sqrt{\frac{n(n-1)}{2}}}$$
分子分母同除以 $\sqrt{n}$：
$$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{\frac{n+1}{2}}+\sqrt{\frac{n-1}{2}}} \to \infty?$$
更精确：分子为 $\sqrt{n}$，分母趋于 $\displaystyle 2\cdot\sqrt{\frac{n}{2}}=\sqrt{2n}$，故比值为：
$$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2n}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

答案： $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

---

（10）
$$\displaystyle{\lim}_{n \to \infty}(\sqrt{n+3\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}})$$

有理化：
$$\frac{(n+3\sqrt{n})-(n-\sqrt{n})}{\sqrt{n+3\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}} = \frac{4\sqrt{n}}{\sqrt{n+3\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}$$
分子分母同除以 $\sqrt{n}$：
$$\frac{4}{\sqrt{1+\frac{3}{\sqrt{n}}}+\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}} \to \frac{4}{1+1} = 2$$

答案： $2$