人邮高数 第1章 第1-2-3题
📝 题目
3．已知 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2016}}{n^{k}-(n-1)^{k}}=A \neq 0$ ，求 $k$ 的值．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知
$$
\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2016}}{n^{k}-(n-1)^{k}}=A \neq 0
$$
我们需要确定常数 $k$。
首先分析分母 $n^{k} - (n-1)^{k}$。利用二项式展开：
$$
(n-1)^{k} = n^{k} - k n^{k-1} + \frac{k(k-1)}{2} n^{k-2} - \cdots + (-1)^{k}
$$
因此
$$
n^{k} - (n-1)^{k} = k n^{k-1} - \frac{k(k-1)}{2} n^{k-2} + \cdots
$$
当 $n \to \infty$ 时，主导项为 $k n^{k-1}$。
于是原极限可写为
$$
\displaystyle{\lim}_{n \to \infty} \frac{n^{2016}}{k n^{k-1} + \text{低阶项}}
= \frac{1}{k} \displaystyle{\lim}_{n \to \infty} n^{2016 - (k-1)}
$$
要使极限为非零常数 $A$，必须使 $n$ 的指数为零，即
$$
2016 - (k-1) = 0
$$
解得
$$
k = 2017
$$
此时极限值为
$$
A = \frac{1}{k} = \frac{1}{2017}
$$
符合 $A \neq 0$ 的条件。
因此，$k$ 的值为
$$
\boxed{2017}
$$