人邮高数 第1章 第1-1-10题
📝 题目
10．设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x}(x \neq 0, x \neq 1)$ ，求 $f[f(x)]$ 和 $f\{f[f(x)]\}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知
$$
f(x)=\frac{1}{1-x},\quad x\neq 0,1
$$
**第一步：求 $f[f(x)]$**
由复合函数定义：
$$
f[f(x)] = f\left(\frac{1}{1-x}\right)
$$
代入 $f$ 的表达式：
$$
f[f(x)] = \frac{1}{1 - \displaystyle\frac{1}{1-x}}
$$
化简分母：
$$
1 - \frac{1}{1-x} = \frac{(1-x)-1}{1-x} = \frac{-x}{1-x}
$$
因此
$$
f[f(x)] = \frac{1}{\displaystyle\frac{-x}{1-x}} = \frac{1-x}{-x} = \frac{x-1}{x}
$$
注意此时要求分母不为零，即 $x\neq 0$，且中间步骤中 $1-x\neq 0$ 即 $x\neq 1$，以及 $\displaystyle \frac{1}{1-x}\neq 1$ 即 $x\neq 0$，所以定义域为 $x\neq 0,1$。
**第二步：求 $f\{f[f(x)]\}$**
先记 $g(x)=f[f(x)] = \dfrac{x-1}{x}$，则
$$
f\{f[f(x)]\} = f(g(x)) = f\left(\frac{x-1}{x}\right)
$$
代入 $f$：
$$
f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{1}{1 - \displaystyle\frac{x-1}{x}}
$$
化简分母：
$$
1 - \frac{x-1}{x} = \frac{x - (x-1)}{x} = \frac{1}{x}
$$
因此
$$
f\{f[f(x)]\} = \frac{1}{\displaystyle\frac{1}{x}} = x
$$
此时需注意 $x\neq 0$（分母不为零），且 $\displaystyle \frac{x-1}{x}\neq 1$ 即 $x-1\neq x$ 恒成立（自动满足），以及 $\displaystyle \frac{x-1}{x}\neq 0$ 即 $x\neq 1$，所以定义域仍为 $x\neq 0,1$。
最终答案
$$
\boxed{f[f(x)] = \frac{x-1}{x},\quad f\{f[f(x)]\} = x}
$$
其中 $x\neq 0,1$。