人邮高数 第1章 第1-1-11题
📝 题目
11．设 $\displaystyle f\left(\frac{1-x}{x}\right)=\frac{1}{x}+\frac{x^{2}}{2 x^{2}-2 x+1}-1(x \neq 0)$ ，求 $f(x)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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令 $\displaystyle t = \frac{1-x}{x}$，则
$$
t = \frac{1}{x} - 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x} = t + 1
$$
从而
$$
x = \frac{1}{t+1}
$$
将 $x$ 和 $\displaystyle \frac{1}{x}$ 用 $t$ 表示，代入原表达式：
原式：
$$
f\left(\frac{1-x}{x}\right) = \frac{1}{x} + \frac{x^{2}}{2x^{2} - 2x + 1} - 1
$$
先计算 $x^2$：
$$
x^2 = \frac{1}{(t+1)^2}
$$
再计算分母 $2x^2 - 2x + 1$：
$$
2x^2 = \frac{2}{(t+1)^2}, \quad 2x = \frac{2}{t+1}
$$
所以
$$
2x^2 - 2x + 1 = \frac{2}{(t+1)^2} - \frac{2}{t+1} + 1
$$
通分，公分母为 $(t+1)^2$：
$$
= \frac{2 - 2(t+1) + (t+1)^2}{(t+1)^2}
= \frac{2 - 2t - 2 + (t^2 + 2t + 1)}{(t+1)^2}
= \frac{t^2 + 1}{(t+1)^2}
$$
于是第二项为：
$$
\frac{x^2}{2x^2 - 2x + 1}
= \frac{\displaystyle\frac{1}{(t+1)^2}}{\displaystyle\frac{t^2+1}{(t+1)^2}}
= \frac{1}{t^2+1}
$$
第一项 $\displaystyle \frac{1}{x} = t+1$，所以原式化为：
$$
f(t) = (t+1) + \frac{1}{t^2+1} - 1 = t + \frac{1}{t^2+1}
$$
因此，将 $t$ 换回 $x$，得：
$$
\boxed{f(x)=x+\frac{1}{x^{2}+1}}
$$