人邮高数 第1章 第1-1-12题
📝 题目
12．设 $f(x)=3 x^{2}+4 x, \varphi(t)=\lg (1+t)$ ，求 $f[\varphi(t)], \varphi[f(x)]$ 及其定义域．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知
$f(x)=3x^2+4x$，
$\varphi(t)=\lg(1+t)$，其中 $\lg$ 表示以10为底的对数。
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**1. 求 $f[\varphi(t)]$**
首先代入：
$$
f[\varphi(t)] = 3[\varphi(t)]^2 + 4\varphi(t)
= 3[\lg(1+t)]^2 + 4\lg(1+t)
$$
定义域要求：$\varphi(t)$ 有意义，即
$1+t > 0 \Rightarrow t > -1$。
此外，$f$ 本身对自变量没有额外限制（多项式），所以定义域就是
$$
t > -1
$$
因此：
$$
f[\varphi(t)] = 3\lg^2(1+t) + 4\lg(1+t), \quad t > -1
$$
---
**2. 求 $\varphi[f(x)]$**
代入：
$$
\varphi[f(x)] = \lg[1 + f(x)] = \lg(1 + 3x^2 + 4x)
= \lg(3x^2 + 4x + 1)
$$
定义域要求：
$$
3x^2 + 4x + 1 > 0
$$
解二次不等式：
先求根
$$
3x^2 + 4x + 1 = 0
$$
判别式 $\Delta = 16 - 12 = 4$，
根为
$$
x = \frac{-4 \pm 2}{6}
$$
即
$$
x_1 = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = -1
$$
由于二次项系数 $3>0$，抛物线开口向上，因此
$3x^2+4x+1 > 0$ 的解为
$$
x < -1 \quad \text{或} \quad x > -\frac{1}{3}
$$
因此：
$$
\varphi[f(x)] = \lg(3x^2+4x+1), \quad x \in (-\infty, -1) \cup \left(-\frac{1}{3}, +\infty\right)
$$
---
最终答案：
- $f[\varphi(t)] = 3\lg^2(1+t) + 4\lg(1+t)$，定义域 $t > -1$
- $\varphi[f(x)] = \lg(3x^2+4x+1)$，定义域 $\displaystyle x \in (-\infty, -1) \cup \left(-\frac{1}{3}, +\infty\right)$