人邮高数 第3章 第3-5-9题
📝 题目
9．计算下列定积分：
（1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} h}{\sqrt{2 g h}}$（ $g$ 为常量）；
（2） $\displaystyle{\int}_{1}^{\sqrt{\mathrm{e}}} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ；
（3） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ；
（4） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ；
（5） $\displaystyle{\int}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ；
（6） $\displaystyle{\int}_{0}^{2}(4-2 x)\left(4-x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ；
（7） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta$ ；
（8） $\displaystyle{\int}_{-1}^{0} \frac{3 x^{4}+3 x^{2}+1}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ；
（9） $\displaystyle{\int}_{0}^{2}|1-x| \mathrm{d} x$ ；
（10） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 \pi}|\sin x| \mathrm{d} x$ ；
（11） $\displaystyle{\int}_{-3}^{3}(|x-1|+|x-2|) \mathrm{d} x$ ；
（12） $\displaystyle{\int}_{-3}^{2} \min \left\{1, \mathrm{e}^{x}\right\} \mathrm{d} x$.
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下为各定积分的计算过程与结果。
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(1)
$$
\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{2gh}} = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int_{0}^{1} h^{-\frac12} \mathrm{d}h
= \frac{1}{\sqrt{2g}} \cdot \left[ 2h^{\frac12} \right]_{0}^{1}
= \frac{1}{\sqrt{2g}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{2g}} = \sqrt{\frac{2}{g}}
$$
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(2)
$$
\int_{1}^{\sqrt{\mathrm{e}}} \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \left[ \ln x \right]_{1}^{\sqrt{\mathrm{e}}}
= \ln(\sqrt{\mathrm{e}}) - \ln 1 = \frac12 - 0 = \frac12
$$
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(3)
$$
\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{d}x
= \left[ \arctan x \right]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}
= \arctan\sqrt{3} - \arctan\frac{1}{\sqrt{3}}
= \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}
$$
---
(4)
$$
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{d}x
= \int_{0}^{1} \left(1 - \frac{1}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d}x
= \left[ x - \arctan x \right]_{0}^{1}
= (1 - \frac{\pi}{4}) - (0 - 0) = 1 - \frac{\pi}{4}
$$
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(5)
$$
\int_{-\frac12}^{\frac12} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{d}x
= \left[ \arcsin x \right]_{-\frac12}^{\frac12}
= \arcsin\frac12 - \arcsin\left(-\frac12\right)
= \frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{3}
$$
---
(6)
先展开被积函数：
$$
(4-2x)(4-x^{2}) = 16 - 4x^{2} - 8x + 2x^{3}
$$
积分：
$$
\int_{0}^{2} (16 - 8x - 4x^{2} + 2x^{3}) \mathrm{d}x
= \left[ 16x - 4x^{2} - \frac{4}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{4} \right]_{0}^{2}
$$
代入 $x=2$：
$$
32 - 16 - \frac{32}{3} + 8 = 24 - \frac{32}{3} = \frac{72-32}{3} = \frac{40}{3}
$$
结果为 $\frac{40}{3}$。
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(7)
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2}\theta \,\mathrm{d}\theta
= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sec^{2}\theta - 1) \mathrm{d}\theta
= \left[ \tan\theta - \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}
= \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) - (0 - 0) = 1 - \frac{\pi}{4}
$$
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(8)
先化简：
$$
\frac{3x^{4}+3x^{2}+1}{x^{2}+1}
= \frac{3x^{2}(x^{2}+1) + 1}{x^{2}+1}
= 3x^{2} + \frac{1}{x^{2}+1}
$$
积分：
$$
\int_{-1}^{0} \left(3x^{2} + \frac{1}{x^{2}+1}\right) \mathrm{d}x
= \left[ x^{3} + \arctan x \right]_{-1}^{0}
= (0+0) - \left( -1 + \arctan(-1) \right)
= 1 - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = 1 + \frac{\pi}{4}
$$
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(9)
去掉绝对值：
当 $x\in[0,1]$，$|1-x| = 1-x$；当 $x\in[1,2]$，$|1-x| = x-1$。
$$
\int_{0}^{2}|1-x|\mathrm{d}x
= \int_{0}^{1}(1-x)\mathrm{d}x + \int_{1}^{2}(x-1)\mathrm{d}x
= \left[x - \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} + \left[\frac{x^{2}}{2} - x\right]_{1}^{2}
$$
第一部分：$1 - \frac12 = \frac12$
第二部分：$\left(2 - 2\right) - \left(\frac12 - 1\right) = 0 - \left(-\frac12\right) = \frac12$
总和：$\frac12 + \frac12 = 1$
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(10)
利用周期性，$\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 为正，$[\pi,2\pi]$ 为负，取绝对值后对称：
$$
\int_{0}^{2\pi}|\sin x|\mathrm{d}x
= 2\int_{0}^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x
= 2\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi}
= 2\left(1 - (-1)\right) = 4
$$
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(11)
分段点：$x=1,2$，区间 $[-3,3]$ 分为三段：
当 $x\in[-3,1]$：$|x-1|+|x-2| = (1-x)+(2-x)=3-2x$
当 $x\in[1,2]$：$|x-1|+|x-2| = (x-1)+(2-x)=1$
当 $x\in[2,3]$：$|x-1|+|x-2| = (x-1)+(x-2)=2x-3$
积分：
$$
\int_{-3}^{1}(3-2x)\mathrm{d}x + \int_{1}^{2}1\,\mathrm{d}x + \int_{2}^{3}(2x-3)\mathrm{d}x
$$
第一部分：$\left[3x - x^{2}\right]_{-3}^{1} = (3-1) - (-9-9) = 2 + 18 = 20$
第二部分：$1$
第三部分：$\left[x^{2} - 3x\right]_{2}^{3} = (9-9) - (4-6) = 0 - (-2) = 2$
总和：$20+1+2=23$
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(12)
$\min\{1, \mathrm{e}^{x}\}$：当 $x \le 0$，$\mathrm{e}^{x} \le 1$，取 $\mathrm{e}^{x}$；当 $x\ge 0$，取 $1$。
积分区间 $[-3,2]$ 分为 $[-3,0]$ 和 $[0,2]$：
$$
\int_{-3}^{0} \mathrm{e}^{x}\mathrm{d}x + \int_{0}^{2} 1\,\mathrm{d}x
= \left[\mathrm{e}^{x}\right]_{-3}^{0} + [x]_{0}^{2}
= (1 - \mathrm{e}^{-3}) + 2 = 3 - \mathrm{e}^{-3}
$$
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难度评级：★☆☆☆☆
均为基本初等函数的定积分，仅含简单换元、分段或三角恒等变形，无复杂技巧。