人邮高数 第4章 第4-2-*8题
📝 题目
＊8．求微分方程 $\displaystyle y^{\prime}=\frac{1}{2} \tan ^{2}(x+2 y)$ 的通解．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解微分方程
$$
y' = \frac{1}{2} \tan^{2}(x + 2y).
$$
这是一个一阶微分方程，可以通过变量代换化为可分离变量的形式。
步骤1：变量代换
令
$$
u = x + 2y,
$$
则
$$
\frac{du}{dx} = 1 + 2\frac{dy}{dx} = 1 + 2y'.
$$
由原方程 $ y' = \frac{1}{2} \tan^2 u $，代入得
$$
\frac{du}{dx} = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} \tan^2 u = 1 + \tan^2 u.
$$
利用三角恒等式
$$
1 + \tan^2 u = \sec^2 u,
$$
所以
$$
\frac{du}{dx} = \sec^2 u.
$$
步骤2：分离变量并积分
分离变量：
$$
\frac{du}{\sec^2 u} = dx \quad \Rightarrow \quad \cos^2 u \, du = dx.
$$
利用恒等式 $\cos^2 u = \frac{1 + \cos 2u}{2}$，积分得
$$
\int \frac{1 + \cos 2u}{2} \, du = \int dx.
$$
即
$$
\frac{1}{2} \left( u + \frac{1}{2} \sin 2u \right) = x + C.
$$
化简为
$$
\frac{u}{2} + \frac{1}{4} \sin 2u = x + C.
$$
步骤3：回代变量
将 $ u = x + 2y $ 代入：
$$
\frac{x + 2y}{2} + \frac{1}{4} \sin[2(x + 2y)] = x + C.
$$
两边乘以 4 消去分母：
$$
2(x + 2y) + \sin[2(x + 2y)] = 4x + 4C.
$$
整理得
$$
2x + 4y + \sin(2x + 4y) = 4x + 4C,
$$
$$
4y + \sin(2x + 4y) = 2x + 4C.
$$
令 $ C_1 = 4C $ 为任意常数，则通解为
$$
4y + \sin(2x + 4y) = 2x + C_1.
$$
最终答案（隐式通解）
$$
\boxed{4y + \sin(2x + 4y) = 2x + C}
$$
其中 $C$ 为任意常数。
难度：★★☆☆☆
（主要考察变量代换与三角恒等式，计算较直接，但需注意代换后的积分技巧。）