人邮高数 第4章 第4-2-*9题

[AI解答]

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我们要求解微分方程
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\cos \frac{x-y}{2}=\cos \frac{x+y}{2}.
$$

第一步：利用三角恒等式化简
移项得
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \cos\frac{x+y}{2} - \cos\frac{x-y}{2}.
$$
由和差化积公式：
$$
\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2},
$$
令 $A = \frac{x+y}{2}$，$B = \frac{x-y}{2}$，则
$$
\frac{A+B}{2} = \frac{\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}}{2} = \frac{x}{2},
$$
$$
\frac{A-B}{2} = \frac{\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{2}}{2} = \frac{y}{2}.
$$
因此
$$
\cos\frac{x+y}{2} - \cos\frac{x-y}{2} = -2\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}.
$$
于是原方程化为
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = -2\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}.
$$

第二步：分离变量
将含 $y$ 的项与含 $x$ 的项分开：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\sin\frac{y}{2}} = -2\sin\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x.
$$
注意 $\displaystyle \frac{1}{\sin\frac{y}{2}} = \csc\frac{y}{2}$。

第三步：两边积分
$$
\int \csc\frac{y}{2} \, \mathrm{d}y = -2\int \sin\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x.
$$
左边：令 $u = \frac{y}{2}$，则 $\mathrm{d}y = 2\,\mathrm{d}u$，
$$
\int \csc\frac{y}{2} \, \mathrm{d}y = \int \csc u \cdot 2\,\mathrm{d}u = 2\int \csc u \, \mathrm{d}u.
$$
而 $\displaystyle \int \csc u \, \mathrm{d}u = \ln\left|\tan\frac{u}{2}\right| + C$，所以左边为
$$
2\ln\left|\tan\frac{y}{4}\right|.
$$
右边：
$$
-2\int \sin\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x = -2\left(-2\cos\frac{x}{2}\right) + C = 4\cos\frac{x}{2} + C.
$$
因此积分结果为
$$
2\ln\left|\tan\frac{y}{4}\right| = 4\cos\frac{x}{2} + C.
$$

第四步：化简通解形式
两边除以 2：
$$
\ln\left|\tan\frac{y}{4}\right| = 2\cos\frac{x}{2} + C_1, \quad C_1 = \frac{C}{2}.
$$
取指数：
$$
\tan\frac{y}{4} = \pm e^{C_1} e^{2\cos\frac{x}{2}}.
$$
记 $C_2 = \pm e^{C_1}$ 为任意非零常数，则
$$
\tan\frac{y}{4} = C_2 e^{2\cos\frac{x}{2}}.
$$
若允许 $C_2 = 0$，则对应 $y=0$ 也是解（由原方程验证成立），因此通解为
$$
\boxed{\tan\frac{y}{4} = C e^{2\cos\frac{x}{2}}},
$$
其中 $C$ 为任意常数。

难度评级：★★☆☆☆
（主要用到和差化积与变量分离，计算量不大，但三角变换需要一定熟练度。）