人邮高数 第5章 第5-3-2题
📝 题目
2．求过点（1，1，1）且同时与平面 $2 x-y-3 z=0$ 和 $x+2 y-5 z=1$ 平行的直线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求过点 $P(1,1,1)$ 且同时平行于两个给定平面的直线方程。
直线与平面平行，意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直。
因此直线的方向向量 $\vec{s}$ 必须同时垂直于两个平面的法向量，即取它们的叉积。
第一步：写出两个平面的法向量
平面1：$2x - y - 3z = 0$，法向量 $\vec{n_1} = (2, -1, -3)$
平面2：$x + 2y - 5z = 1$，法向量 $\vec{n_2} = (1, 2, -5)$
第二步：求方向向量
取叉积：
$$
\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}
= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & -1 & -3 \\
1 & 2 & -5
\end{vmatrix}
$$
计算：
$$
\vec{s} = \mathbf{i}\left((-1)(-5) - (-3)(2)\right)
- \mathbf{j}\left((2)(-5) - (-3)(1)\right)
+ \mathbf{k}\left((2)(2) - (-1)(1)\right)
$$
$$
= \mathbf{i}(5 + 6) - \mathbf{j}(-10 + 3) + \mathbf{k}(4 + 1)
$$
$$
= (11, 7, 5)
$$
第三步：写出直线方程
过点 $(1,1,1)$，方向向量 $(11,7,5)$，对称式方程为：
$$
\frac{x-1}{11} = \frac{y-1}{7} = \frac{z-1}{5}
$$
参数式方程为：
$$
\begin{cases}
x = 1 + 11t \\
y = 1 + 7t \\
z = 1 + 5t
\end{cases}
\quad t \in \mathbb{R}
$$
难度：★★☆☆☆
（主要考察空间解析几何中直线与平面平行关系及叉积运算，步骤清晰直接）