人邮高数 第5章 第5-3-20题
📝 题目
20．一直线过点 $(1,2,1)$ ，又与直线 $\displaystyle \frac{x}{2}=y=-z$ 相交，且垂直于直线 $\displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}$ ，求该直线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求一条直线，它满足三个条件：
1. 过点 $P_0(1,2,1)$；
2. 与已知直线 $L_1: \frac{x}{2}=y=-z$ 相交；
3. 垂直于已知直线 $L_2: \frac{x-1}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}$。
---
第一步：写出已知直线的方向向量
对于 $L_1$：
将其写成对称式：
$$
\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1}
$$
所以方向向量
$$
\mathbf{s}_1 = (2, 1, -1)
$$
对于 $L_2$：
$$
\frac{x-1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{1}
$$
方向向量
$$
\mathbf{s}_2 = (3, 2, 1)
$$
---
**第二步：设所求直线方向向量为 $\mathbf{s} = (a,b,c)$**
由条件（3）：垂直于 $L_2$，即
$$
\mathbf{s} \cdot \mathbf{s}_2 = 0
$$
所以
$$
3a + 2b + c = 0 \tag{1}
$$
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**第三步：利用与 $L_1$ 相交的条件**
设所求直线为过 $P_0$ 且方向为 $\mathbf{s}$ 的直线：
$$
\frac{x-1}{a} = \frac{y-2}{b} = \frac{z-1}{c}
$$
它与 $L_1$ 相交，即存在参数 $t$ 和 $u$ 使得：
$$
(1 + a t,\; 2 + b t,\; 1 + c t) = (2u,\; u,\; -u)
$$
于是得到方程组：
$$
\begin{cases}
1 + a t = 2u \\
2 + b t = u \\
1 + c t = -u
\end{cases}
$$
由第二式得 $u = 2 + b t$，代入第一式：
$$
1 + a t = 2(2 + b t) \implies 1 + a t = 4 + 2b t
$$
$$
a t - 2b t = 3 \implies t(a - 2b) = 3 \tag{2}
$$
代入第三式：
$$
1 + c t = -(2 + b t) \implies 1 + c t = -2 - b t
$$
$$
c t + b t = -3 \implies t(b + c) = -3 \tag{3}
$$
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第四步：联立方向向量条件
由(1)： $c = -3a - 2b$
代入(3)：
$$
t(b - 3a - 2b) = t(-3a - b) = -3
$$
即
$$
t(3a + b) = 3 \tag{4}
$$
由(2)：
$$
t(a - 2b) = 3
$$
所以(2)与(4)左边相等：
$$
a - 2b = 3a + b
$$
移项：
$$
-2b - b = 3a - a \implies -3b = 2a
$$
$$
a = -\frac{3}{2} b
$$
---
第五步：取非零方向向量
取 $b = 2$，则 $a = -3$，再由(1)：
$$
c = -3(-3) - 2(2) = 9 - 4 = 5
$$
所以方向向量为
$$
\mathbf{s} = (-3, 2, 5)
$$
---
第六步：写出直线方程
过点 $(1,2,1)$，方向 $(-3,2,5)$，对称式：
$$
\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-1}{5}
$$
也可写成参数式：
$$
\begin{cases}
x = 1 - 3t \\
y = 2 + 2t \\
z = 1 + 5t
\end{cases}
$$
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最终答案
$$
\boxed{\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-1}{5}}
$$
难度：★★☆☆☆