人邮高数 第5章 第5-3-5题
📝 题目
5．确定下列各组中的直线和平面间的位置关系．
（1）$\displaystyle \frac{x-3}{-2}=\frac{y+4}{-7}=\frac{z}{3}$ 和 $4 x-2 y-2 z=3$ ；
（2）$\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{7}$ 和 $3 x-2 y+7 z=8$ ；
（3）$\displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-4}$ 和 $x+y+z=3$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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题目：确定下列各组中的直线和平面间的位置关系。
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（1）
直线：
$$
\frac{x-3}{-2} = \frac{y+4}{-7} = \frac{z}{3}
$$
方向向量为 $\vec{s} = (-2, -7, 3)$。
平面：
$$
4x - 2y - 2z = 3
$$
法向量为 $\vec{n} = (4, -2, -2)$。
先判断直线方向向量与平面法向量是否垂直：
$$
\vec{s} \cdot \vec{n} = (-2)(4) + (-7)(-2) + (3)(-2) = -8 + 14 - 6 = 0
$$
点积为0，说明直线与平面平行或直线在平面上。
取直线上一点 $P(3, -4, 0)$，代入平面方程：
$$
4(3) - 2(-4) - 2(0) = 12 + 8 = 20 \neq 3
$$
点不在平面上，因此直线与平面平行。
结论：平行。
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（2）
直线：
$$
\frac{x}{3} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{7}
$$
方向向量 $\vec{s} = (3, -2, 7)$。
平面：
$$
3x - 2y + 7z = 8
$$
法向量 $\vec{n} = (3, -2, 7)$。
方向向量与法向量成比例：
$$
\frac{3}{3} = \frac{-2}{-2} = \frac{7}{7} = 1
$$
因此 $\vec{s} \parallel \vec{n}$，直线垂直于平面。
取直线上一点 $O(0,0,0)$，代入平面方程：
$$
3(0) - 2(0) + 7(0) = 0 \neq 8
$$
点不在平面上，因此直线与平面相交于一点，且垂直。
结论：垂直相交。
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（3）
直线：
$$
\frac{x-2}{3} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-3}{-4}
$$
方向向量 $\vec{s} = (3, 1, -4)$。
平面：
$$
x + y + z = 3
$$
法向量 $\vec{n} = (1, 1, 1)$。
计算点积：
$$
\vec{s} \cdot \vec{n} = 3(1) + 1(1) + (-4)(1) = 3 + 1 - 4 = 0
$$
所以直线与平面平行或直线在平面上。
取直线上一点 $P(2, -2, 3)$，代入平面方程：
$$
2 + (-2) + 3 = 3
$$
满足平面方程，因此直线在平面上。
结论：直线在平面内。
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难度评级：★☆☆☆☆