人邮高数 第5章 第5-3-6题
📝 题目
6．求直线 $\left\{\begin{array}{l}x+y+3 z=0, \\ x-y-z=0\end{array}\right.$ 和平面 $x-y-z+1=0$ 的夹角．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
首先，直线的方向向量可由两平面法向量的叉积得到。
两平面方程分别为：
平面1：$x+y+3z=0$，法向量 $\vec{n}_1 = (1,1,3)$
平面2：$x-y-z=0$，法向量 $\vec{n}_2 = (1,-1,-1)$
直线的方向向量为：
$$
\vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 1 & 3 \\
1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}\begin{vmatrix}1 & 3 \\ -1 & -1\end{vmatrix}
- \mathbf{j}\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 1 & -1\end{vmatrix}
+ \mathbf{k}\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{vmatrix}
$$
计算各分量：
$$
\begin{vmatrix}1 & 3 \\ -1 & -1\end{vmatrix} = 1\cdot(-1) - 3\cdot(-1) = -1 + 3 = 2
$$
$$
\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 1 & -1\end{vmatrix} = 1\cdot(-1) - 3\cdot1 = -1 - 3 = -4
$$
$$
\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{vmatrix} = 1\cdot(-1) - 1\cdot1 = -1 - 1 = -2
$$
因此：
$$
\vec{s} = (2, -(-4), -2) = (2, 4, -2)
$$
可化简为 $(1,2,-1)$。
已知平面方程为 $x - y - z + 1 = 0$，其法向量 $\vec{n} = (1,-1,-1)$。
直线与平面的夹角 $\theta$ 定义为直线方向向量与平面法向量夹角 $\varphi$ 的余角，即：
$$
\sin\theta = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}|\,|\vec{n}|}
$$
计算点积：
$$
\vec{s} \cdot \vec{n} = 1\cdot1 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot(-1) = 1 - 2 + 1 = 0
$$
因此：
$$
\sin\theta = 0
$$
所以 $\theta = 0$，即直线与平面平行（或直线在平面内，但这里直线方向垂直于法向量，且代入直线上的点可验证不在平面上，故为平行）。
因此直线与平面的夹角为 $0$。
难度：★☆☆☆☆