人邮高数 第5章 第5-4-11题
📝 题目
11．化曲线的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=4 \cos t, \\ y=3 \sin t, \\ z=2 \sin t\end{array}\right.$ 为一般方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
要将参数方程
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=4 \cos t, \\
y=3 \sin t, \\
z=2 \sin t
\end{array}\right.
$$
化为一般方程（即不含参数 $t$ 的方程），我们注意到 $y$ 和 $z$ 都含有 $\sin t$，可以先将它们联系起来。
由 $y = 3\sin t$ 得 $\sin t = \frac{y}{3}$，
由 $z = 2\sin t$ 得 $\sin t = \frac{z}{2}$，
因此有
$$
\frac{y}{3} = \frac{z}{2} \quad \Rightarrow \quad 2y = 3z.
$$
这是第一个方程。
再由 $x = 4\cos t$ 得 $\cos t = \frac{x}{4}$，
利用三角恒等式 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$，代入得
$$
\left(\frac{y}{3}\right)^2 + \left(\frac{x}{4}\right)^2 = 1,
$$
即
$$
\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1.
$$
因此，曲线的一般方程为
$$
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1, \$$1em]
2y = 3z.
\end{array}\right.
$$
这表示一个在三维空间中的椭圆（位于平面 $2y = 3z$ 上）。
难度：★☆☆☆☆