人邮高数 第5章 第5-4-12题

[AI解答]

[AI解答]

我们首先将曲线方程整理成更标准的形式。给定曲线由方程组
$$
\begin{cases}
2y^{2}+z^{2}+4x=4z, \$$2mm]
y^{2}+3z^{2}-8x=12z
\end{cases}
$$
定义。目标是求该曲线在三个坐标面 $xOy$、$yOz$、$zOx$ 上的投影。

第一步：消去变量，得到投影柱面方程

1. **消去 $x$**，得到曲线在 $yOz$ 平面上的投影。
将第一个方程乘以 2，得
$$
4y^{2}+2z^{2}+8x=8z.
$$
与第二个方程相加：
$$
(4y^{2}+2z^{2}+8x)+(y^{2}+3z^{2}-8x)=8z+12z,
$$
即
$$
5y^{2}+5z^{2}=20z \quad\Rightarrow\quad y^{2}+z^{2}=4z.
$$
配方：
$$
y^{2}+(z^{2}-4z+4)=4 \quad\Rightarrow\quad y^{2}+(z-2)^{2}=4.
$$
这是 $yOz$ 平面上的一个圆，圆心 $(0,2)$，半径 $2$。
因此曲线在 $yOz$ 平面上的投影方程为
$$
\boxed{y^{2}+(z-2)^{2}=4}.
$$

2. **消去 $y$**，得到曲线在 $zOx$ 平面上的投影。
将第一个方程乘以 3，第二个方程乘以 2，得
$$
\begin{cases}
6y^{2}+3z^{2}+12x=12z,\\
2y^{2}+6z^{2}-16x=24z.
\end{cases}
$$
用第一式减去第二式：
$$
(6y^{2}-2y^{2})+(3z^{2}-6z^{2})+(12x+16x)=12z-24z,
$$
即
$$
4y^{2}-3z^{2}+28x=-12z.
$$
但我们希望消去 $y^{2}$，更好的做法是：从原方程组直接消去 $y^{2}$。
将第一个方程乘以 1，第二个方程乘以 2，得
$$
\begin{cases}
2y^{2}+z^{2}+4x=4z,\\
2y^{2}+6z^{2}-16x=24z.
\end{cases}
$$
相减：
$$
(z^{2}-6z^{2})+(4x+16x)=4z-24z,
$$
即
$$
-5z^{2}+20x=-20z \quad\Rightarrow\quad 20x=5z^{2}-20z.
$$
两边除以 5：
$$
4x=z^{2}-4z \quad\Rightarrow\quad 4x=(z-2)^{2}-4.
$$
所以
$$
(z-2)^{2}=4(x+1).
$$
这是 $zOx$ 平面上的抛物线，顶点在 $(-1,2)$，开口沿 $x$ 正向。
因此曲线在 $zOx$ 平面上的投影方程为
$$
\boxed{(z-2)^{2}=4(x+1)}.
$$

3. **消去 $z$**，得到曲线在 $xOy$ 平面上的投影。
原方程组为
$$
\begin{cases}
2y^{2}+z^{2}+4x=4z,\\
y^{2}+3z^{2}-8x=12z.
\end{cases}
$$
将第一个方程乘以 3，得
$$
6y^{2}+3z^{2}+12x=12z.
$$
减去第二个方程：
$$
(6y^{2}-y^{2})+(3z^{2}-3z^{2})+(12x+8x)=12z-12z,
$$
即
$$
5y^{2}+20x=0 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=-4x.
$$
这是 $xOy$ 平面上的抛物线，顶点在原点，开口沿 $x$ 负向。
因此曲线在 $xOy$ 平面上的投影方程为
$$
\boxed{y^{2}=-4x}.
$$

第二步：总结三个投影

- 在 $yOz$ 平面：$y^{2}+(z-2)^{2}=4$（圆）
- 在 $zOx$ 平面：$(z-2)^{2}=4(x+1)$（抛物线）
- 在 $xOy$ 平面：$y^{2}=-4x$（抛物线）

难度评级：★★☆☆☆
（主要考察空间曲线投影的消元法，计算量不大，思路直接）