人邮高数 第5章 第5-4-13题

[AI解答]

[AI解答]

我们要求曲线
$$
\begin{cases}
x^{2}+y^{2}+z^{2}=3, \\
x^{2}+y^{2}=2z
\end{cases}
$$
在 $xOy$ 平面上的投影。投影即消去 $z$ 后得到的曲线在 $xOy$ 平面上的方程。

**第一步：消去 $z$**
由第二个方程得
$$
x^{2}+y^{2}=2z \quad\Rightarrow\quad z = \frac{x^{2}+y^{2}}{2}.
$$
代入第一个方程：
$$
x^{2}+y^{2}+\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)^{2}=3.
$$
令 $r^{2}=x^{2}+y^{2}$，则方程化为
$$
r^{2}+\frac{r^{4}}{4}=3.
$$
两边乘以 4：
$$
4r^{2}+r^{4}=12 \quad\Rightarrow\quad r^{4}+4r^{2}-12=0.
$$
令 $t=r^{2}\ge 0$，则
$$
t^{2}+4t-12=0.
$$
解得
$$
t = \frac{-4\pm\sqrt{16+48}}{2} = \frac{-4\pm 8}{2}.
$$
取非负根 $t=2$，因此
$$
r^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}=2.
$$

**第二步：确定 $z$ 的范围**
由 $x^{2}+y^{2}=2z$ 及 $x^{2}+y^{2}=2$ 得 $z=1$。
原曲线是球面与抛物面的交线，它在空间中是封闭曲线，投影到 $xOy$ 平面后即为圆 $x^{2}+y^{2}=2$，且该圆上的每一点都对应原曲线上的一点（因为 $z$ 由方程唯一确定且满足球面方程）。

因此，投影曲线方程为
$$
\boxed{x^{2}+y^{2}=2}.
$$

难度：★★☆☆☆