人邮高数 第6章 第6-3-13题
📝 题目
13．利用一阶全微分形式的不变性求函数 $\displaystyle u=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 的偏导数．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求函数
$$
u = \frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
$$
的偏导数，利用一阶全微分形式的不变性，即先求全微分 $\mathrm{d}u$，再从中直接读出各偏导系数。
---
第一步：将函数写成便于微分的形式
令
$$
u = x \cdot (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1}
$$
设
$$
R^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2}
$$
则
$$
u = x R^{-2}
$$
---
第二步：对两边取全微分
利用乘积法则：
$$
\mathrm{d}u = \mathrm{d}x \cdot R^{-2} + x \cdot \mathrm{d}(R^{-2})
$$
而
$$
\mathrm{d}(R^{-2}) = -2 R^{-3} \, \mathrm{d}R
$$
又
$$
\mathrm{d}R = \frac{\partial R}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial R}{\partial y}\mathrm{d}y + \frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}z
$$
由于 $R = (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}$，有
$$
\frac{\partial R}{\partial x} = \frac{x}{R},\quad
\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{y}{R},\quad
\frac{\partial R}{\partial z} = \frac{z}{R}
$$
所以
$$
\mathrm{d}R = \frac{x}{R}\mathrm{d}x + \frac{y}{R}\mathrm{d}y + \frac{z}{R}\mathrm{d}z
$$
---
第三步：代入并整理
先计算
$$
x \cdot \mathrm{d}(R^{-2}) = x \cdot (-2 R^{-3}) \left( \frac{x}{R}\mathrm{d}x + \frac{y}{R}\mathrm{d}y + \frac{z}{R}\mathrm{d}z \right)
$$
即
$$
= -\frac{2x}{R^{4}} \left( x\mathrm{d}x + y\mathrm{d}y + z\mathrm{d}z \right)
$$
而第一项为
$$
R^{-2} \mathrm{d}x
$$
因此
$$
\mathrm{d}u = \frac{1}{R^{2}}\mathrm{d}x - \frac{2x^{2}}{R^{4}}\mathrm{d}x - \frac{2xy}{R^{4}}\mathrm{d}y - \frac{2xz}{R^{4}}\mathrm{d}z
$$
合并 $\mathrm{d}x$ 的系数：
$$
\frac{1}{R^{2}} - \frac{2x^{2}}{R^{4}} = \frac{R^{2} - 2x^{2}}{R^{4}}
$$
而 $R^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2}$，所以
$$
R^{2} - 2x^{2} = y^{2}+z^{2} - x^{2}
$$
于是
$$
\mathrm{d}u = \frac{y^{2}+z^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\mathrm{d}x
- \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\mathrm{d}y
- \frac{2xz}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\mathrm{d}z
$$
---
第四步：由全微分形式直接读出偏导数
由
$$
\mathrm{d}u = \frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}y + \frac{\partial u}{\partial z}\mathrm{d}z
$$
对比系数得：
$$
\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{y^{2}+z^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}
$$
$$
\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}
$$
$$
\displaystyle\frac{\partial u}{\partial z} = -\frac{2xz}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}
$$
---
最终答案
$$
\boxed{\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{y^{2}+z^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}},\quad
\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}},\quad
\frac{\partial u}{\partial z} = -\frac{2xz}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}}
$$
---
难度：★★☆☆☆
（计算过程稍长，但方法固定，属于中等偏易题型）