人邮高数 第6章 第6-3-14题

[AI解答]

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以下为各小题的隐函数求导过程。

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（1）
方程：
$$
\sin y + e^{x} - x y^{2} = 0
$$
两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：
$$
\cos y \cdot y' + e^{x} - \left( y^{2} + x \cdot 2y y' \right) = 0
$$
整理：
$$
\cos y \cdot y' + e^{x} - y^{2} - 2xy y' = 0
$$
含 $y'$ 项合并：
$$
y'(\cos y - 2xy) = y^{2} - e^{x}
$$
所以
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y^{2} - e^{x}}{\cos y - 2xy}
$$

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（2）
方程：
$$
\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \arctan\frac{y}{x}
$$
先化简左边：
$$
\frac{1}{2}\ln(x^{2}+y^{2}) = \arctan\frac{y}{x}
$$
两边对 $x$ 求导：
左边导数：
$$
\frac{1}{2} \cdot \frac{2x + 2y y'}{x^{2}+y^{2}} = \frac{x + y y'}{x^{2}+y^{2}}
$$
右边导数：
$$
\frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^{2}} \cdot \frac{y' x - y}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{y' x - y}{x^{2}} = \frac{y' x - y}{x^{2}+y^{2}}
$$
令两边相等：
$$
\frac{x + y y'}{x^{2}+y^{2}} = \frac{y' x - y}{x^{2}+y^{2}}
$$
分母相同，得：
$$
x + y y' = y' x - y
$$
移项：
$$
y y' - x y' = -y - x
$$
$$
y'(y - x) = -(x + y)
$$
所以
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{x + y}{x - y}
$$

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（3）
方程：
$$
y = 1 + x e^{y}
$$
两边对 $x$ 求导：
$$
y' = e^{y} + x e^{y} y'
$$
移项：
$$
y' - x e^{y} y' = e^{y}
$$
$$
y'(1 - x e^{y}) = e^{y}
$$
所以
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{e^{y}}{1 - x e^{y}}
$$
由原方程 $x e^{y} = y - 1$，也可写作：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{e^{y}}{2 - y}
$$

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（4）
方程：
$$
x^{y} = y^{x}
$$
取自然对数：
$$
y \ln x = x \ln y
$$
两边对 $x$ 求导：
$$
y' \ln x + \frac{y}{x} = \ln y + \frac{x}{y} y'
$$
移项：
$$
y' \ln x - \frac{x}{y} y' = \ln y - \frac{y}{x}
$$
$$
y'\left( \ln x - \frac{x}{y} \right) = \ln y - \frac{y}{x}
$$
所以
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\ln y - \displaystyle\frac{y}{x}}{\ln x - \displaystyle\frac{x}{y}}
$$
分子分母同乘 $xy$：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y(x \ln y - y)}{x(y \ln x - x)}
$$

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难度评级：★★☆☆☆
（均为隐函数求导基础题型，计算稍繁但方法统一）