人邮高数 第7章 第7-5-10题

[AI解答]

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本题要求计算不可压缩稳定流体通过球面第一卦限部分外侧的流量。
流量公式为：
$$
\Phi = \iint_{\Sigma} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} \, dS
$$
其中 $\boldsymbol{n}$ 为指定侧的单位法向量，这里取外侧。

由于曲面是球面 $x^2+y^2+z^2 = a^2$ 在第一卦限的部分，其外侧法向量方向与位置向量方向相同，即：
$$
\boldsymbol{n} = \frac{x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}}{a}
$$
因此：
$$
\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} = \frac{x^3 + y^3 + z^3}{a}
$$

于是流量为：
$$
\Phi = \iint_{\Sigma} \frac{x^3 + y^3 + z^3}{a} \, dS
$$

利用对称性，在第一卦限的球面上，$x, y, z$ 地位相同，所以：
$$
\iint_{\Sigma} x^3 \, dS = \iint_{\Sigma} y^3 \, dS = \iint_{\Sigma} z^3 \, dS
$$
因此：
$$
\Phi = \frac{3}{a} \iint_{\Sigma} x^3 \, dS
$$

下面计算 $\displaystyle\iint_{\Sigma} x^3 \, dS$。采用球坐标：
$$
x = a\sin\theta\cos\phi,\quad y = a\sin\theta\sin\phi,\quad z = a\cos\theta
$$
第一卦限对应：
$$
0 \le \theta \le \frac{\pi}{2},\quad 0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}
$$
球面面积元：
$$
dS = a^2 \sin\theta \, d\theta d\phi
$$
于是：
$$
\iint_{\Sigma} x^3 \, dS = \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2} (a\sin\theta\cos\phi)^3 \cdot a^2 \sin\theta \, d\theta d\phi
$$
$$
= a^5 \int_{0}^{\pi/2} \cos^3\phi \, d\phi \int_{0}^{\pi/2} \sin^4\theta \, d\theta
$$

分别计算两个积分：
$$
\int_{0}^{\pi/2} \cos^3\phi \, d\phi = \int_{0}^{\pi/2} \cos\phi (1-\sin^2\phi) \, d\phi
$$
令 $u=\sin\phi$，则：
$$
= \int_{0}^{1} (1-u^2) \, du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
$$

另一个积分：
$$
\int_{0}^{\pi/2} \sin^4\theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \left( \frac{1-\cos2\theta}{2} \right)^2 d\theta
= \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi/2} \left(1 - 2\cos2\theta + \cos^2 2\theta\right) d\theta
$$
而：
$$
\int_{0}^{\pi/2} 1 \, d\theta = \frac{\pi}{2},\quad \int_{0}^{\pi/2} \cos2\theta \, d\theta = 0
$$
$$
\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 2\theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1+\cos4\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{4}
$$
所以：
$$
\int_{0}^{\pi/2} \sin^4\theta \, d\theta = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{16}
$$

因此：
$$
\iint_{\Sigma} x^3 \, dS = a^5 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3\pi}{16} = a^5 \cdot \frac{\pi}{8}
$$

代回流量公式：
$$
\Phi = \frac{3}{a} \cdot \frac{\pi a^5}{8} = \frac{3\pi a^4}{8}
$$

因此，所求流量为：
$$
\boxed{\dfrac{3\pi a^{4}}{8}}
$$

难度：★★☆☆☆