人邮高数 第7章 第7-5-11题
📝 题目
11．判别表达式 $\displaystyle \frac{(3 y-x) \mathrm{d} x+(y-3 x) \mathrm{d} y}{(x+y)^{3}}$ 是否是某个函数 $u=(x, y)$ 的全微分，若是，求此函数 $u(x, y)$ 。
💡 答案解析
[AI解答]
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我们首先判断给定的表达式是否为某个函数 $ u(x, y) $ 的全微分。
设
$$
P(x, y) = \frac{3y - x}{(x+y)^3}, \quad Q(x, y) = \frac{y - 3x}{(x+y)^3}.
$$
全微分的充要条件是
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.
$$
先计算 $\frac{\partial P}{\partial y}$：
$$
P = (3y - x)(x+y)^{-3}
$$
对 $y$ 求偏导：
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = 3(x+y)^{-3} + (3y - x)(-3)(x+y)^{-4}.
$$
化简：
$$
= \frac{3}{(x+y)^3} - \frac{3(3y - x)}{(x+y)^4}
= \frac{3(x+y) - 3(3y - x)}{(x+y)^4}
= \frac{3x+3y - 9y + 3x}{(x+y)^4}
= \frac{6x - 6y}{(x+y)^4}.
$$
再计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$：
$$
Q = (y - 3x)(x+y)^{-3}
$$
对 $x$ 求偏导：
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} = -3(x+y)^{-3} + (y - 3x)(-3)(x+y)^{-4}
= -\frac{3}{(x+y)^3} - \frac{3(y-3x)}{(x+y)^4}.
$$
通分：
$$
= \frac{-3(x+y) - 3(y-3x)}{(x+y)^4}
= \frac{-3x -3y -3y + 9x}{(x+y)^4}
= \frac{6x - 6y}{(x+y)^4}.
$$
两者相等，因此该表达式是某个函数 $u(x, y)$ 的全微分。
现在求 $u(x, y)$：
由
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = P = \frac{3y - x}{(x+y)^3}
$$
对 $x$ 积分：
令 $t = x+y$，则 $dx = dt$，但注意 $y$ 视为常数，所以直接积分：
$$
u = \int \frac{3y - x}{(x+y)^3} \, dx.
$$
拆分为
$$
u = \int \frac{3y}{(x+y)^3} \, dx - \int \frac{x}{(x+y)^3} \, dx.
$$
第一项：
$$
\int \frac{3y}{(x+y)^3} \, dx = 3y \cdot \frac{(x+y)^{-2}}{-2} = -\frac{3y}{2(x+y)^2}.
$$
第二项：用分部积分或直接公式：
$$
\int \frac{x}{(x+y)^3} \, dx,
$$
令 $t = x+y$，则 $x = t - y$，$dx = dt$，
$$
\int \frac{t-y}{t^3} dt = \int \left( \frac{1}{t^2} - \frac{y}{t^3} \right) dt = -\frac{1}{t} + \frac{y}{2t^2}.
$$
代回 $t = x+y$：
$$
\int \frac{x}{(x+y)^3} dx = -\frac{1}{x+y} + \frac{y}{2(x+y)^2}.
$$
因此
$$
u = -\frac{3y}{2(x+y)^2} - \left( -\frac{1}{x+y} + \frac{y}{2(x+y)^2} \right) + C(y)
$$
$$
= -\frac{3y}{2(x+y)^2} + \frac{1}{x+y} - \frac{y}{2(x+y)^2} + C(y)
$$
$$
= \frac{1}{x+y} - \frac{4y}{2(x+y)^2} + C(y)
= \frac{1}{x+y} - \frac{2y}{(x+y)^2} + C(y).
$$
化简：
$$
\frac{1}{x+y} - \frac{2y}{(x+y)^2} = \frac{x+y - 2y}{(x+y)^2} = \frac{x - y}{(x+y)^2}.
$$
所以
$$
u = \frac{x - y}{(x+y)^2} + C(y).
$$
再对 $y$ 求偏导，应等于 $Q$：
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x-y}{(x+y)^2} \right) + C'(y).
$$
先求
$$
\frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x-y}{(x+y)^2} \right)
$$
设分子 $N = x-y$，分母 $D = (x+y)^2$，
$$
\frac{\partial}{\partial y} = \frac{(-1)(x+y)^2 - (x-y)\cdot 2(x+y)}{(x+y)^4}
= \frac{-(x+y)^2 - 2(x-y)(x+y)}{(x+y)^4}
= \frac{-(x+y) - 2(x-y)}{(x+y)^3}
= \frac{-x - y - 2x + 2y}{(x+y)^3}
= \frac{-3x + y}{(x+y)^3}.
$$
而 $Q = \frac{y-3x}{(x+y)^3}$，两者相等，因此
$$
\frac{-3x + y}{(x+y)^3} + C'(y) = \frac{y-3x}{(x+y)^3}
$$
所以 $C'(y) = 0$，即 $C(y)$ 为常数。
因此所求函数为
$$
u(x, y) = \frac{x - y}{(x+y)^2} + C.
$$
难度：★★☆☆☆