人邮高数 第7章 第7-5-12题
📝 题目
12．求下列微分方程的通解．
（1）$\left(4 x^{2} y-3 y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}-3 x y\right) \mathrm{d} y=0$ ；
（2）$\left(y-x \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ ；
（3）$\left(x y+\sqrt{1-x^{2} y^{2}}\right) \mathrm{d} x+x^{2} \mathrm{~d} y=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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（1）
给定方程：
$$
(4x^2 y - 3y^2) \mathrm{d}x + (x^3 - 3xy) \mathrm{d}y = 0
$$
检查是否为恰当微分方程：
$$
M = 4x^2 y - 3y^2,\quad N = x^3 - 3xy
$$
计算偏导数：
$$
\frac{\partial M}{\partial y} = 4x^2 - 6y,\quad
\frac{\partial N}{\partial x} = 3x^2 - 3y
$$
二者不相等，故不是恰当方程。尝试找积分因子。计算：
$$
\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}
= \frac{(4x^2 - 6y) - (3x^2 - 3y)}{x^3 - 3xy}
= \frac{x^2 - 3y}{x(x^2 - 3y)} = \frac{1}{x}
$$
仅与 $x$ 有关，故积分因子为：
$$
\mu(x) = e^{\displaystyle{}\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x} = e^{\ln|x|} = x
$$
乘以 $x$ 得新方程：
$$
(4x^3 y - 3xy^2) \mathrm{d}x + (x^4 - 3x^2 y) \mathrm{d}y = 0
$$
此时：
$$
\tilde{M} = 4x^3 y - 3xy^2,\quad \tilde{N} = x^4 - 3x^2 y
$$
检查：
$$
\frac{\partial \tilde{M}}{\partial y} = 4x^3 - 6xy,\quad
\frac{\partial \tilde{N}}{\partial x} = 4x^3 - 6xy
$$
相等，故为恰当方程。求原函数 $u(x,y)$：
$$
u = \int \tilde{M} \mathrm{d}x = \int (4x^3 y - 3xy^2) \mathrm{d}x = x^4 y - \frac{3}{2}x^2 y^2 + \varphi(y)
$$
对 $y$ 求偏导：
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = x^4 - 3x^2 y + \varphi'(y)
$$
令其等于 $\tilde{N} = x^4 - 3x^2 y$，得 $\varphi'(y)=0$，故 $\varphi(y)=C$。
通解为：
$$
x^4 y - \frac{3}{2}x^2 y^2 = C
$$
（2）
方程：
$$
(y - x\sqrt{x^2 + y^2}) \mathrm{d}x - x \mathrm{d}y = 0
$$
改写为：
$$
y \mathrm{d}x - x \mathrm{d}y = x\sqrt{x^2 + y^2} \mathrm{d}x
$$
两边除以 $x^2$（假设 $x \neq 0$）：
$$
\frac{y \mathrm{d}x - x \mathrm{d}y}{x^2} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x} \mathrm{d}x
$$
左边是 $\mathrm{d}\left(\frac{y}{x}\right)$，令 $u = \frac{y}{x}$，则右边：
$$
\frac{\sqrt{x^2 + u^2 x^2}}{x} = \sqrt{1+u^2}
$$
得到：
$$
\mathrm{d}u = \sqrt{1+u^2} \ \mathrm{d}x
$$
分离变量：
$$
\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1+u^2}} = \mathrm{d}x
$$
积分：
$$
\ln\left| u + \sqrt{1+u^2} \right| = x + C
$$
回代 $u = y/x$：
$$
\ln\left| \frac{y}{x} + \sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}} \right| = x + C
$$
即：
$$
\ln\left| \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} \right| = x + C
$$
通解为：
$$
\frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = C e^{x}
$$
（3）
方程：
$$
\left(xy + \sqrt{1 - x^2 y^2}\right) \mathrm{d}x + x^2 \mathrm{d}y = 0
$$
改写为：
$$
x^2 \mathrm{d}y = -\left(xy + \sqrt{1 - x^2 y^2}\right) \mathrm{d}x
$$
除以 $x^2$：
$$
\mathrm{d}y = -\left( \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^2 y^2}}{x^2} \right) \mathrm{d}x
$$
令 $u = xy$，则 $y = u/x$，微分得：
$$
\mathrm{d}y = \frac{x \mathrm{d}u - u \mathrm{d}x}{x^2}
$$
代入方程：
$$
\frac{x \mathrm{d}u - u \mathrm{d}x}{x^2} = -\left( \frac{u}{x^2} + \frac{\sqrt{1-u^2}}{x^2} \right) \mathrm{d}x
$$
两边乘以 $x^2$：
$$
x \mathrm{d}u - u \mathrm{d}x = -\left( u + \sqrt{1-u^2} \right) \mathrm{d}x
$$
化简：
$$
x \mathrm{d}u = -\sqrt{1-u^2} \ \mathrm{d}x
$$
分离变量：
$$
\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^2}} = -\frac{\mathrm{d}x}{x}
$$
积分：
$$
\arcsin u = -\ln|x| + C
$$
回代 $u = xy$：
$$
\arcsin(xy) = -\ln|x| + C
$$
通解为：
$$
\arcsin(xy) + \ln|x| = C
$$
难度评级：★★★☆☆
（涉及恰当方程、积分因子、变量代换与三角反函数积分，需要一定技巧。）