人邮高数 第7章 第7-5-13题

[AI解答]

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第一步：全微分条件
给定方程
$$
f(x) y \, dx + \left( \frac{3}{2} \sin 2x - f'(x) \right) dy = 0
$$
要成为全微分方程，需存在函数 $F(x,y)$ 使得
$$
\frac{\partial F}{\partial x} = f(x)y, \quad \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{3}{2}\sin 2x - f'(x).
$$
由混合偏导数相等条件：
$$
\frac{\partial}{\partial y}\left( f(x)y \right) = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{3}{2}\sin 2x - f'(x) \right).
$$
左边：
$$
\frac{\partial}{\partial y}(f(x)y) = f(x).
$$
右边：
$$
\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{3}{2}\sin 2x - f'(x) \right) = 3\cos 2x - f''(x).
$$
因此得到
$$
f(x) = 3\cos 2x - f''(x).
$$
即
$$
f''(x) + f(x) = 3\cos 2x.
$$

**第二步：解微分方程求 $f(x)$**
齐次方程 $f''+f=0$ 通解：
$$
f_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x.
$$
非齐次项 $3\cos 2x$，设特解形式 $f_p = A\cos 2x$，代入：
$$
(-4A\cos 2x) + (A\cos 2x) = -3A\cos 2x = 3\cos 2x,
$$
得 $A = -1$。所以
$$
f(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \cos 2x.
$$
利用初始条件：
$f(0) = C_1 - 1 = -1 \Rightarrow C_1 = 0$。
$f'(x) = C_2 \cos x + 2\sin 2x$，
$f'(0) = C_2 = 1$。
因此
$$
f(x) = \sin x - \cos 2x.
$$

**第三步：求原函数 $F(x,y)$**
由
$$
\frac{\partial F}{\partial x} = (\sin x - \cos 2x) y,
$$
积分得
$$
F(x,y) = \int (\sin x - \cos 2x) y \, dx = y(-\cos x - \frac{1}{2}\sin 2x) + \varphi(y).
$$
又由
$$
\frac{\partial F}{\partial y} = -\cos x - \frac{1}{2}\sin 2x + \varphi'(y) = \frac{3}{2}\sin 2x - f'(x).
$$
而 $f'(x) = \cos x + 2\sin 2x$，所以右边为
$$
\frac{3}{2}\sin 2x - (\cos x + 2\sin 2x) = -\cos x - \frac{1}{2}\sin 2x.
$$
对比得 $\varphi'(y)=0$，即 $\varphi(y)=C$（常数）。取 $C=0$，则
$$
F(x,y) = -y\left( \cos x + \frac{1}{2}\sin 2x \right) = 0
$$
为通积分。

**第四步：过点 $(\pi,1)$ 的积分曲线**
代入 $x=\pi, y=1$：
$$
F(\pi,1) = -1\left( \cos\pi + \frac{1}{2}\sin 2\pi \right) = -1(-1+0)=1.
$$
所以所求积分曲线为
$$
-y\left( \cos x + \frac{1}{2}\sin 2x \right) = 1,
$$
即
$$
y\left( \cos x + \frac{1}{2}\sin 2x \right) = -1.
$$

最终答案
$$
\boxed{f(x)=\sin x - \cos 2x,\quad y\left( \cos x + \frac{1}{2}\sin 2x \right) = -1}
$$

难度：★★★☆☆