人邮高数 第8章 第8-1-2题

[AI解答]

[AI解答]

以下为各小题级数一般项的推导，均以 $n$ 表示项数序号，通常从 $n=1$ 开始。

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（1）
$$
\frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 3}+\frac{1}{4 \ln 4}+\cdots
$$
观察分母：第一个分母为 $2\ln 2$，第二个为 $3\ln 3$，第三个为 $4\ln 4$，可见第 $n$ 项分母为 $(n+1)\ln(n+1)$。
一般项：
$$
u_n = \frac{1}{(n+1)\ln(n+1)},\quad n=1,2,3,\dots
$$

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（2）
$$
\frac{1+1}{1+2}+\frac{1+2}{1+2^{2}}+\frac{1+3}{1+2^{3}}+\cdots
$$
分子：第1项分子 $1+1$，第2项分子 $1+2$，第3项分子 $1+3$，故第 $n$ 项分子为 $1+n$。
分母：第1项分母 $1+2^1$，第2项分母 $1+2^2$，第3项分母 $1+2^3$，故第 $n$ 项分母为 $1+2^n$。
一般项：
$$
u_n = \frac{1+n}{1+2^n},\quad n=1,2,3,\dots
$$

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（3）
$$
\frac{1}{2}+\frac{2}{5}+\frac{3}{10}+\frac{4}{17}+\cdots
$$
分子依次为 $1,2,3,4,\dots$，故第 $n$ 项分子为 $n$。
分母：$2,5,10,17,\dots$，观察规律：
$2=1^2+1,\quad 5=2^2+1,\quad 10=3^2+1,\quad 17=4^2+1$，故第 $n$ 项分母为 $n^2+1$。
一般项：
$$
u_n = \frac{n}{n^2+1},\quad n=1,2,3,\dots
$$

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（4）
$$
\frac{1}{1}+\frac{1}{5}+\frac{1}{9}+\frac{1}{13}+\cdots
$$
分母：$1,5,9,13,\dots$，此为等差数列，首项1，公差4，故第 $n$ 项分母为 $1+4(n-1)=4n-3$。
一般项：
$$
u_n = \frac{1}{4n-3},\quad n=1,2,3,\dots
$$

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（5）
$$
1-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\cdots
$$
符号规律：正、负、正、负……即 $(-1)^{n-1}$。
分母：$1^2,2^2,3^2,4^2,\dots$，故第 $n$ 项分母为 $n^2$。
一般项：
$$
u_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}},\quad n=1,2,3,\dots
$$

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（6）
$$
\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots
$$
第1项分母为 $1\cdot2\cdot3$，第2项为 $2\cdot3\cdot4$，第3项为 $3\cdot4\cdot5$，故第 $n$ 项分母为 $n(n+1)(n+2)$。
一般项：
$$
u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)},\quad n=1,2,3,\dots
$$

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（7）
$$
1+\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}+\cdots
$$
第1项视为 $\frac{1}{1}$（分子只有1，分母只有1）。
分子为奇数连乘：第 $n$ 项分子为 $1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)$，即 $(2n-1)!!$。
分母为 $n!$。
一般项：
$$
u_n = \frac{(2n-1)!!}{n!},\quad n=1,2,3,\dots
$$

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（8）
$$
\frac{1}{2}+\frac{3}{2 \cdot 4}+\frac{5}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\frac{7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}+\cdots
$$
分子：第1项分子1，第2项分子3，第3项分子5，第4项分子7，故第 $n$ 项分子为 $2n-1$。
分母：第1项分母 $2$，第2项分母 $2\cdot4$，第3项分母 $2\cdot4\cdot6$，第4项分母 $2\cdot4\cdot6\cdot8$，即第 $n$ 项分母为 $2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=2^n n!$。
一般项：
$$
u_n = \frac{2n-1}{2^n n!},\quad n=1,2,3,\dots
$$

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难度评级：★☆☆☆☆
（均为观察数列规律写出通项，属于基础题）