人邮高数 第8章 第8-1-3题
📝 题目
3．已知级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 的前 $n$ 项的部分和 $\displaystyle S_{n}=\frac{8^{n}-1}{7 \times 8^{n-1}}$ ，求这个级数．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的部分和为
$$
S_n = \frac{8^n - 1}{7 \times 8^{n-1}}.
$$
首先化简 $S_n$：
$$
S_n = \frac{8^n - 1}{7 \cdot 8^{n-1}}
= \frac{8^n}{7 \cdot 8^{n-1}} - \frac{1}{7 \cdot 8^{n-1}}
= \frac{8}{7} - \frac{1}{7 \cdot 8^{n-1}}.
$$
于是级数的通项为
$$
u_n = S_n - S_{n-1}, \quad n \geq 2,
$$
且 $u_1 = S_1$。
先计算 $S_1$：
$$
S_1 = \frac{8}{7} - \frac{1}{7 \cdot 8^{0}} = \frac{8}{7} - \frac{1}{7} = 1.
$$
所以 $u_1 = 1$。
对于 $n \geq 2$：
$$
S_{n-1} = \frac{8}{7} - \frac{1}{7 \cdot 8^{n-2}}.
$$
于是
$$
u_n = \left( \frac{8}{7} - \frac{1}{7 \cdot 8^{n-1}} \right)
- \left( \frac{8}{7} - \frac{1}{7 \cdot 8^{n-2}} \right)
= -\frac{1}{7 \cdot 8^{n-1}} + \frac{1}{7 \cdot 8^{n-2}}.
$$
提取公因子 $\frac{1}{7 \cdot 8^{n-2}}$：
$$
u_n = \frac{1}{7 \cdot 8^{n-2}} \left( 1 - \frac{1}{8} \right)
= \frac{1}{7 \cdot 8^{n-2}} \cdot \frac{7}{8}
= \frac{1}{8^{n-1}}.
$$
验证 $n=1$ 时，$\frac{1}{8^{0}} = 1$，与 $u_1$ 一致。
因此级数为
$$
\sum_{n=1}^{\infty} u_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{8^{n-1}}.
$$
这是一个公比为 $\frac{1}{8}$ 的等比级数，其和为
$$
\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{8}{7}.
$$
难度：★★☆☆☆