人邮高数 第8章 第8-2-13题
📝 题目
13．讨论级数 $\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \sin \left(n \pi+\frac{1}{\ln n}\right)$ 的收敛性，若收敛，问是绝对收敛，还是条件收敛？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们考虑级数
$$
\sum_{n=2}^{\infty} \sin\left(n\pi + \frac{1}{\ln n}\right).
$$
首先利用三角恒等式：
$$
\sin(n\pi + x) = (-1)^n \sin x,
$$
因为 $\sin(n\pi + x) = \sin(n\pi)\cos x + \cos(n\pi)\sin x = 0 + (-1)^n \sin x$。
因此
$$
\sin\left(n\pi + \frac{1}{\ln n}\right) = (-1)^n \sin\left(\frac{1}{\ln n}\right).
$$
于是原级数化为
$$
\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \sin\left(\frac{1}{\ln n}\right).
$$
现在考虑其绝对收敛性：
$$
\left| (-1)^n \sin\left(\frac{1}{\ln n}\right) \right| = \left|\sin\left(\frac{1}{\ln n}\right)\right|.
$$
当 $n$ 充分大时，$\frac{1}{\ln n} \to 0$，因此
$$
\sin\left(\frac{1}{\ln n}\right) \sim \frac{1}{\ln n}.
$$
而级数 $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}$ 发散（因为 $\frac{1}{\ln n}$ 衰减慢于任何 $p$-级数，且 $\frac{1}{\ln n} > \frac{1}{n}$ 对于足够大的 $n$ 不成立，但可用比较判别法：对任意 $p>0$，$\ln n = o(n^p)$，所以 $\frac{1}{\ln n}$ 发散）。更严格地，由比较判别法，$\frac{1}{\ln n} > \frac{1}{n}$ 对 $n\ge 3$ 不成立，但我们可以用积分判别法：
$$
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{\ln x}\, dx
$$
发散（因为换元 $t=\ln x$ 得 $\int_{\ln 2}^{\infty} \frac{e^t}{t}\, dt$ 发散）。因此 $\sum \frac{1}{\ln n}$ 发散，从而 $\sum \sin(1/\ln n)$ 发散，故原级数不绝对收敛。
再考虑条件收敛性。交错级数
$$
\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n a_n,\quad a_n = \sin\left(\frac{1}{\ln n}\right) > 0 \ (\text{当 } n\ge 2).
$$
我们需要验证莱布尼茨判别法的条件：
1. $a_n$ 单调递减趋于 0。
由于 $\ln n$ 单调递增，$\frac{1}{\ln n}$ 单调递减趋于 0，而 $\sin x$ 在 $(0, \pi/2)$ 上单调递增，因此 $\sin(1/\ln n)$ 也单调递减趋于 0。
2. 显然 $a_n \to 0$。
因此由莱布尼茨判别法，该交错级数收敛。
综上，原级数条件收敛。
难度评级：★★☆☆☆