人邮高数 第8章 第8-2-2题
📝 题目
2．用比较审敛定理判别级数的敛散性。
（1） $\displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots$ ；
（2）$\displaystyle \frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 3}+\frac{1}{\ln 4}+\frac{1}{\ln 5}+\cdots$ ；
（3）$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\cdots$ ；
（4）$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}+\left(\frac{3}{7}\right)^{2}+\left(\frac{4}{9}\right)^{2}+\cdots$ ；
（5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1) 2^{n-1}}$ ；
（6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi}{2^{n}}$ ；
（7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n\left(1-\cos \frac{1}{n^{2}}\right)$ ；
（8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{\frac{4}{3}}}$ ；
（9）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1\right)$ ；
（10）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1+n}{1+n^{2}}$ ；
（11）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+n}{1+n^{2}}\right)^{2}$ ；
（12）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \frac{n+1}{n-1}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下用比较审敛定理（比较判别法）逐题判别级数的敛散性。
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（1）
级数：$\displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots$
通项：$\displaystyle{a_n=\frac{1}{2n-1}}$
比较：$\displaystyle{\frac{1}{2n-1}>\frac{1}{2n}}$，而$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}}$发散（调和级数），故原级数发散。
结论：发散
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（2）
级数：$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln n}}$
比较：当$n\ge 3$时，$\ln n < n$，故$\displaystyle{\frac{1}{\ln n}>\frac{1}{n}}$，而$\displaystyle{\sum\frac{1}{n}}$发散，故原级数发散。
结论：发散
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（3）
级数：$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}}$
比较：$\displaystyle{\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{n^2}}$，而$\displaystyle{\sum\frac{1}{n^2}}$收敛，故原级数收敛。
结论：收敛
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（4）
级数：$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^2}$
通项：$\displaystyle{a_n=\frac{n^2}{(2n+1)^2}\to\frac{1}{4}\neq0}$，级数通项不趋于0，必发散。
结论：发散
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（5）
级数：$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)2^{n-1}}}$
比较：$\displaystyle{\frac{1}{(2n-1)2^{n-1}}<\frac{1}{2^{n-1}}}$，而几何级数$\displaystyle{\sum\frac{1}{2^{n-1}}}$收敛，故原级数收敛。
结论：收敛
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（6）
级数：$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{\pi}{2^n}}$
当$n\to\infty$，$\displaystyle{\sin\frac{\pi}{2^n}\sim\frac{\pi}{2^n}}$，而$\displaystyle{\sum\frac{\pi}{2^n}}$收敛，故原级数收敛。
结论：收敛
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（7）
级数：$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}n\left(1-\cos\frac{1}{n^2}\right)}$
利用$\displaystyle{1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}}$，得$\displaystyle{n\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n^4}=\frac{1}{2n^3}}$，而$\displaystyle{\sum\frac{1}{n^3}}$收敛，故原级数收敛。
结论：收敛
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（8）
级数：$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{4/3}}}$
比较：取$\displaystyle p=\frac{5}{4}$，则$\displaystyle{\frac{\ln n}{n^{4/3}}<\frac{n^{1/12}}{n^{4/3}}=\frac{1}{n^{5/4}}}$（对充分大$n$），而$\displaystyle{\sum\frac{1}{n^{5/4}}}$收敛，故原级数收敛。
结论：收敛
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（9）
级数：$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{1/\sqrt{n}}-1\right)}$
利用$\displaystyle{e^x-1\sim x}$，得$\displaystyle{e^{1/\sqrt{n}}-1\sim\frac{1}{\sqrt{n}}}$，而$\displaystyle{\sum\frac{1}{\sqrt{n}}}$发散，故原级数发散。
结论：发散
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（10）
级数：$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+n}{1+n^2}}$
比较：$\displaystyle{\frac{1+n}{1+n^2}>\frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2n}}$（对$n\ge1$），而$\displaystyle{\sum\frac{1}{2n}}$发散，故原级数发散。
结论：发散
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（11）
级数：$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+n}{1+n^2}\right)^2}$
通项：$\displaystyle{\left(\frac{1+n}{1+n^2}\right)^2\sim\frac{n^2}{n^4}=\frac{1}{n^2}}$，而$\displaystyle{\sum\frac{1}{n^2}}$收敛，故原级数收敛。
结论：收敛
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（12）
级数：$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\frac{n+1}{n-1}}$
利用$\displaystyle{\ln\frac{n+1}{n-1}=\ln\left(1+\frac{2}{n-1}\right)\sim\frac{2}{n}}$，则通项$\displaystyle{\sim\frac{2}{n^{3/2}}}$，而$\displaystyle{\sum\frac{1}{n^{3/2}}}$收敛，故原级数收敛。
结论：收敛
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难度评级：★★☆☆☆