同济高数 第7章 第7-8-5题

[AI解答]

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这是一个RLC串联电路，电动势为E，开关S闭合后对电容器充电。根据基尔霍夫电压定律，有：

$$
E = u_R(t) + u_L(t) + u_C(t)
$$

其中
$u_R(t) = R i(t)$，
$u_L(t) = L \displaystyle{\frac{di(t)}{dt}}$，
$u_C(t) = \displaystyle{\frac{1}{C} \int_0^t i(\tau) d\tau}$，且初始条件为 $i(0)=0$，$u_C(0)=0$。

代入已知数值：
$E = 20\ \mathrm{V}$，$R = 1000\ \Omega$，$L = 0.1\ \mathrm{H}$，$C = 0.2 \times 10^{-6}\ \mathrm{F}$。

方程化为：

$$
L \displaystyle{\frac{di}{dt}} + R i + \frac{1}{C} \int_0^t i(\tau) d\tau = E
$$

对时间求导，消去积分，得到二阶线性常微分方程：

$$
L \displaystyle{\frac{d^2 i}{dt^2}} + R \displaystyle{\frac{di}{dt}} + \frac{1}{C} i = 0
$$

代入数值：

$$
0.1 \displaystyle{\frac{d^2 i}{dt^2}} + 1000 \displaystyle{\frac{di}{dt}} + \frac{1}{0.2\times 10^{-6}} i = 0
$$

即：

$$
0.1 \displaystyle{\frac{d^2 i}{dt^2}} + 1000 \displaystyle{\frac{di}{dt}} + 5\times 10^{6} i = 0
$$

两边乘以10：

$$
\displaystyle{\frac{d^2 i}{dt^2}} + 10000 \displaystyle{\frac{di}{dt}} + 5\times 10^{7} i = 0
$$

特征方程为：

$$
r^2 + 10000 r + 5\times 10^{7} = 0
$$

解得：

$$
r = \frac{-10000 \pm \sqrt{10^8 - 2\times 10^8}}{2} = \frac{-10000 \pm \sqrt{-10^8}}{2}
$$

即：

$$
r = -5000 \pm j 5000
$$

因此电路处于欠阻尼振荡状态。令 $\alpha = 5000$，$\omega_d = 5000$，则通解为：

$$
i(t) = e^{-5000 t} \left( A \cos(5000 t) + B \sin(5000 t) \right)
$$

初始条件：
1. $i(0)=0$ 代入得 $A=0$，所以

$$
i(t) = B e^{-5000 t} \sin(5000 t)
$$

2. 由 $u_C(0)=0$ 及回路方程在 $t=0^+$ 时：

$$
L \displaystyle{\frac{di(0^+)}{dt}} + R i(0^+) + u_C(0^+) = E
$$

代入 $i(0^+)=0$，$u_C(0^+)=0$，得：

$$
L \displaystyle{\frac{di(0^+)}{dt}} = E \quad\Rightarrow\quad \displaystyle{\frac{di(0^+)}{dt}} = \frac{E}{L} = \frac{20}{0.1} = 200
$$

对 $i(t)$ 求导：

$$
\displaystyle{\frac{di}{dt}} = B e^{-5000 t} \left[ -5000 \sin(5000 t) + 5000 \cos(5000 t) \right]
$$

在 $t=0$ 时：

$$
\displaystyle{\frac{di(0)}{dt}} = B \cdot 5000 = 200 \quad\Rightarrow\quad B = 0.04
$$

因此电流为：

$$
i(t) = 0.04\, e^{-5000 t} \sin(5000 t) \quad \mathrm{A}
$$

电容电压为：

$$
u_C(t) = \frac{1}{C} \int_0^t i(\tau) d\tau = \frac{1}{0.2\times 10^{-6}} \int_0^t 0.04 e^{-5000 \tau} \sin(5000 \tau) d\tau
$$

计算积分：

已知公式：

$$
\int e^{a\tau} \sin(b\tau) d\tau = \frac{e^{a\tau}(a \sin(b\tau) - b \cos(b\tau))}{a^2 + b^2}
$$

这里 $a = -5000$，$b=5000$，$a^2+b^2 = 5\times 10^7$。

所以：

$$
u_C(t) = 5\times 10^6 \times 0.04 \times \left[ \frac{e^{-5000\tau}(-5000\sin(5000\tau) - 5000\cos(5000\tau))}{5\times 10^7} \right]_0^t
$$

化简系数：$5\times 10^6 \times 0.04 = 2\times 10^5$，除以 $5\times 10^7$ 得 $0.004$，因此：

$$
u_C(t) = 0.004 \times \left[ e^{-5000 t}(-5000\sin(5000 t) - 5000\cos(5000 t)) - ( -5000 ) \right]
$$

即：

$$
u_C(t) = 0.004 \times 5000 \left[ 1 - e^{-5000 t}(\sin(5000 t) + \cos(5000 t)) \right]
$$

由于 $0.004 \times 5000 = 20$，所以：

$$
u_C(t) = 20 \left[ 1 - e^{-5000 t}(\sin(5000 t) + \cos(5000 t)) \right] \quad \mathrm{V}
$$

最终结果：

$$
\boxed{i(t) = 0.04\, e^{-5000 t} \sin(5000 t)\ \mathrm{A}}
$$

$$
\boxed{u_C(t) = 20 \left[ 1 - e^{-5000 t}(\sin(5000 t) + \cos(5000 t)) \right]\ \mathrm{V}}
$$

难度：★★★☆☆