同济高数 第7章 第7-8-6题

[AI解答]

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我们已知函数 $\varphi(x)$ 连续，且满足积分方程：

$$
\varphi(x) = e^x + \int_{0}^{x} t \varphi(t) \, dt - x \int_{0}^{x} \varphi(t) \, dt.
$$

第一步：将方程化为微分方程
两边对 $x$ 求导。注意右边含有变上限积分，应用莱布尼茨法则：

- 对 $e^x$ 求导得 $e^x$。
- 对 $\displaystyle{\int}_{0}^{x} t \varphi(t) \, dt$ 求导得 $x \varphi(x)$。
- 对 $-x \displaystyle{\int}_{0}^{x} \varphi(t) \, dt$ 求导，使用乘积法则：
$$
\frac{d}{dx}\left[-x \int_{0}^{x} \varphi(t) dt\right] = -\int_{0}^{x} \varphi(t) dt - x \varphi(x).
$$

因此求导后得到：
$$
\varphi'(x) = e^x + x\varphi(x) - \int_{0}^{x} \varphi(t) dt - x\varphi(x) = e^x - \int_{0}^{x} \varphi(t) dt.
$$

于是：
$$
\varphi'(x) = e^x - \int_{0}^{x} \varphi(t) dt. \tag{1}
$$

第二步：再求一次导
对 (1) 两边再对 $x$ 求导：
$$
\varphi''(x) = e^x - \varphi(x).
$$

因此得到二阶线性微分方程：
$$
\varphi''(x) + \varphi(x) = e^x. \tag{2}
$$

第三步：解微分方程
齐次方程 $\varphi'' + \varphi = 0$ 的通解为：
$$
\varphi_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x.
$$

非齐次项 $e^x$，设特解形式 $\varphi_p(x) = A e^x$，代入 (2)：
$$
A e^x + A e^x = 2A e^x = e^x \quad\Rightarrow\quad A = \frac12.
$$

所以通解为：
$$
\varphi(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x + \frac12 e^x.
$$

第四步：利用初始条件定常数
在原方程中令 $x=0$：
$$
\varphi(0) = e^0 + \int_{0}^{0} t\varphi(t) dt - 0 \cdot \int_{0}^{0} \varphi(t) dt = 1.
$$
因此 $\varphi(0) = 1$，代入通解：
$$
C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 + \frac12 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac12.
$$

再使用 (1) 式在 $x=0$ 的条件：
由 (1) 得 $\varphi'(0) = e^0 - \int_{0}^{0} \varphi(t) dt = 1$。
对通解求导：
$$
\varphi'(x) = -C_1 \sin x + C_2 \cos x + \frac12 e^x,
$$
代入 $x=0$：
$$
\varphi'(0) = 0 + C_2 + \frac12 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_2 = \frac12.
$$

第五步：写出最终结果
因此：
$$
\varphi(x) = \frac12 \cos x + \frac12 \sin x + \frac12 e^x = \frac12 \bigl( e^x + \cos x + \sin x \bigr).
$$

最终答案为：
$$
\boxed{\varphi(x) = \frac12 (e^x + \cos x + \sin x)}
$$

难度：★★☆☆☆
（主要考察含参变量积分求导与简单二阶常系数线性微分方程求解，步骤清晰，计算量不大。）