同济高数 第10章 第10-2-7题
📝 题目
7．设平面薄片所占的闭区域 $D$ 由直线 $x+y=2, y=x$ 和 $x$ 轴所围成，它的面密度 $\mu(x, y)=x^{2}+y^{2}$ ，求该薄片的质量．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
该薄片的质量 $M$ 由二重积分表示为
$$
M = \iint\limits_{D} \mu(x,y) \, \mathrm{d}\sigma = \iint\limits_{D} (x^{2}+y^{2}) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y
$$
其中区域 $D$ 由直线 $x+y=2$、$y=x$ 和 $x$ 轴围成。
首先确定积分区域。三条边界为：
- $y = 0$（$x$ 轴）
- $y = x$
- $x + y = 2$
求出交点：
1. $y=x$ 与 $x+y=2$ 的交点：代入得 $x+x=2 \Rightarrow x=1, y=1$，即点 $(1,1)$。
2. $y=0$ 与 $x+y=2$ 的交点：$x=2, y=0$，即点 $(2,0)$。
3. $y=0$ 与 $y=x$ 的交点：$(0,0)$。
因此区域 $D$ 是由点 $(0,0)$、$(1,1)$、$(2,0)$ 构成的三角形区域。
将区域按 $x$ 型描述：
- 对于固定的 $x$，$y$ 的下边界为 $y=0$，上边界分两段：
当 $0 \le x \le 1$ 时，上边界为 $y=x$；
当 $1 \le x \le 2$ 时，上边界为 $y=2-x$。
于是质量积分写为
$$
M = \int_{0}^{1} \mathrm{d}x \int_{0}^{x} (x^{2}+y^{2}) \, \mathrm{d}y \;+\; \int_{1}^{2} \mathrm{d}x \int_{0}^{2-x} (x^{2}+y^{2}) \, \mathrm{d}y
$$
先计算第一部分：
$$
\int_{0}^{x} (x^{2}+y^{2}) \, \mathrm{d}y
= \left[ x^{2}y + \frac{y^{3}}{3} \right]_{0}^{x}
= x^{3} + \frac{x^{3}}{3} = \frac{4}{3}x^{3}
$$
于是
$$
\int_{0}^{1} \frac{4}{3}x^{3} \, \mathrm{d}x
= \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{3}
$$
再计算第二部分：
$$
\int_{0}^{2-x} (x^{2}+y^{2}) \, \mathrm{d}y
= \left[ x^{2}y + \frac{y^{3}}{3} \right]_{0}^{2-x}
= x^{2}(2-x) + \frac{(2-x)^{3}}{3}
$$
展开：
$$
x^{2}(2-x) = 2x^{2} - x^{3}
$$
而
$$
\frac{(2-x)^{3}}{3} = \frac{8 - 12x + 6x^{2} - x^{3}}{3}
$$
相加得：
$$
2x^{2} - x^{3} + \frac{8}{3} - 4x + 2x^{2} - \frac{x^{3}}{3}
= \left(2x^{2}+2x^{2}\right) + \left(-x^{3} - \frac{x^{3}}{3}\right) - 4x + \frac{8}{3}
$$
即
$$
4x^{2} - \frac{4}{3}x^{3} - 4x + \frac{8}{3}
$$
对 $x$ 从 1 到 2 积分：
$$
\int_{1}^{2} \left(4x^{2} - \frac{4}{3}x^{3} - 4x + \frac{8}{3}\right) \mathrm{d}x
$$
逐项积分：
$$
\int 4x^{2} \, \mathrm{d}x = \frac{4}{3}x^{3},\quad
\int -\frac{4}{3}x^{3} \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{3}x^{4},\quad
\int -4x \, \mathrm{d}x = -2x^{2},\quad
\int \frac{8}{3} \, \mathrm{d}x = \frac{8}{3}x
$$
代入上下限：
在 $x=2$ 处：
$$
\frac{4}{3}\cdot 8 - \frac{1}{3}\cdot 16 - 2\cdot 4 + \frac{8}{3}\cdot 2
= \frac{32}{3} - \frac{16}{3} - 8 + \frac{16}{3}
$$
合并前两项：$\frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3}$，再加 $\frac{16}{3}$ 得 $\frac{32}{3}$，减去 8 即 $\frac{32}{3} - \frac{24}{3} = \frac{8}{3}$。
在 $x=1$ 处：
$$
\frac{4}{3}\cdot 1 - \frac{1}{3}\cdot 1 - 2\cdot 1 + \frac{8}{3}\cdot 1
= \frac{4}{3} - \frac{1}{3} - 2 + \frac{8}{3}
= \left(\frac{4}{3} - \frac{1}{3} + \frac{8}{3}\right) - 2
= \frac{11}{3} - 2 = \frac{11}{3} - \frac{6}{3} = \frac{5}{3}
$$
因此第二部分积分值为
$$
\frac{8}{3} - \frac{5}{3} = \frac{3}{3} = 1
$$
两部分相加：
$$
M = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}
$$
因此薄片的质量为 $\displaystyle \frac{4}{3}$。
难度：★★☆☆☆