同济高数 第10章 第10-2-8题
📝 题目
8．计算由四个平面 $x=0, y=0, x=1, y=1$ 所围成的柱体被平面 $z=0$ 及 $2 x+3 y+z=6$ 截得的立体
的体积．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求由四个平面 $x=0, y=0, x=1, y=1$ 所围成的柱体，被平面 $z=0$ 及 $2x+3y+z=6$ 截得的立体体积。
该立体在 $xy$ 平面上的投影区域为
$$
D = \{(x,y) \mid 0 \le x \le 1,\; 0 \le y \le 1\}.
$$
在区域 $D$ 内，顶部曲面为 $z = 6 - 2x - 3y$，底部为 $z=0$。
因此体积为
$$
V = \iint\limits_{D} (6 - 2x - 3y) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y.
$$
先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分：
$$
V = \int_{0}^{1} \left[ \int_{0}^{1} (6 - 2x - 3y) \, \mathrm{d}y \right] \mathrm{d}x.
$$
计算内层积分：
$$
\int_{0}^{1} (6 - 2x - 3y) \, \mathrm{d}y
= \left[ (6 - 2x)y - \frac{3}{2}y^{2} \right]_{0}^{1}
= (6 - 2x) \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot 1^{2}
= 6 - 2x - \frac{3}{2}
= \frac{9}{2} - 2x.
$$
再对 $x$ 积分：
$$
V = \int_{0}^{1} \left( \frac{9}{2} - 2x \right) \mathrm{d}x
= \left[ \frac{9}{2}x - x^{2} \right]_{0}^{1}
= \frac{9}{2} - 1
= \frac{7}{2}.
$$
因此所求体积为 $\displaystyle \frac{7}{2}$。
难度：★☆☆☆☆