同济高数 第10章 第10-2-9题
📝 题目
9．求由平面 $x=0, y=0, x+y=1$ 所围成的柱体被平面 $z=0$ 及抛物面 $x^{2}+y^{2}=6-z$ 截得的立体的体积
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求的是由平面 $x=0$、$y=0$、$x+y=1$ 围成的柱体，被平面 $z=0$ 和抛物面 $x^2 + y^2 = 6 - z$ 所截得的立体体积。
该立体在 $xy$ 平面上的投影区域是由 $x=0$、$y=0$、$x+y=1$ 围成的三角形区域，记为 $D$。
在区域 $D$ 内，立体的顶部是抛物面 $z = 6 - (x^2 + y^2)$，底部是平面 $z=0$。因此体积为：
$$
V = \displaystyle\iint_{D} \bigl[6 - (x^2 + y^2)\bigr] \, dA
$$
区域 $D$ 可表示为：
$$
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 1-x
$$
所以：
$$
V = \displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\int_{0}^{1-x} \bigl[6 - (x^2 + y^2)\bigr] \, dy \, dx
$$
先对 $y$ 积分：
$$
\displaystyle\int_{0}^{1-x} \bigl[6 - x^2 - y^2\bigr] \, dy
= \bigl[ (6 - x^2)y - \frac{y^3}{3} \bigr]_{0}^{1-x}
= (6 - x^2)(1-x) - \frac{(1-x)^3}{3}
$$
再对 $x$ 积分：
$$
V = \displaystyle\int_{0}^{1} \left[ (6 - x^2)(1-x) - \frac{(1-x)^3}{3} \right] dx
$$
展开第一项：
$$
(6 - x^2)(1-x) = 6 - 6x - x^2 + x^3
$$
所以被积函数为：
$$
6 - 6x - x^2 + x^3 - \frac{(1-x)^3}{3}
$$
计算：
$$
\displaystyle\int_{0}^{1} (6 - 6x - x^2 + x^3) \, dx
= \left[ 6x - 3x^2 - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1}
= 6 - 3 - \frac{1}{3} + \frac{1}{4}
= 3 - \frac{1}{3} + \frac{1}{4}
= \frac{36}{12} - \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{35}{12}
$$
再计算：
$$
\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{(1-x)^3}{3} \, dx
= \frac{1}{3} \displaystyle\int_{0}^{1} (1-x)^3 \, dx
= \frac{1}{3} \cdot \left[ -\frac{(1-x)^4}{4} \right]_{0}^{1}
= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}
$$
因此：
$$
V = \frac{35}{12} - \frac{1}{12} = \frac{34}{12} = \frac{17}{6}
$$
所以所求体积为：
$$
\boxed{\dfrac{17}{6}}
$$
难度：★★☆☆☆