同济高数 第10章 第10-2-*20题
📝 题目
＊20．求由下列曲线所围成的闭区域 $D$ 的面积：
（1）$D$ 是由曲线 $x y=4, x y=8, x y^{3}=5, x y^{3}=15$ 所围成的第一象限部分的闭区域；
（2）$D$ 是由曲线 $y=x^{3}, y=4 x^{3}, x=y^{3}, x=4 y^{3}$ 所围成的第一象限部分的闭区域．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1）
令变换
$$
u = xy,\quad v = xy^3
$$
则区域边界为
$$
u = 4,\ u = 8,\quad v = 5,\ v = 15
$$
在第一象限内，由 $u, v$ 定义，可反解出
$$
x = u^{\frac{3}{2}} v^{-\frac{1}{2}},\quad y = u^{-\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}
$$
计算雅可比行列式：
$$
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =
\begin{vmatrix}
\frac{3}{2}u^{\frac12}v^{-\frac12} & -\frac12 u^{\frac32}v^{-\frac32} \$$4pt]
-\frac12 u^{-\frac32}v^{\frac12} & \frac12 u^{-\frac12}v^{-\frac12}
\end{vmatrix}
$$
计算得
$$
= \frac{3}{4} u^{0} v^{-1} - \frac14 u^{0} v^{-1} = \frac{1}{2v}
$$
因此面积
$$
A = \iint_D dx\,dy = \int_{u=4}^{8} \int_{v=5}^{15} \frac{1}{2v}\,dv\,du
$$
先对 $v$ 积分：
$$
\int_{5}^{15} \frac{1}{2v}\,dv = \frac12 \ln\frac{15}{5} = \frac12 \ln 3
$$
再对 $u$ 积分：
$$
A = \int_{4}^{8} \frac12 \ln 3\,du = (8-4)\cdot\frac12\ln 3 = 2\ln 3
$$
故第一问面积为 $\displaystyle 2\ln 3$。
（2）
令变换
$$
u = \frac{y}{x^3},\quad v = \frac{x}{y^3}
$$
则边界为
$$
u = 1,\ u = 4,\quad v = 1,\ v = 4
$$
由 $u,v$ 解出 $x,y$：
由 $y = u x^3$ 和 $x = v y^3$ 代入得
$$
x = v (u x^3)^3 = v u^3 x^9 \quad\Rightarrow\quad x^8 = \frac{1}{v u^3}
$$
所以
$$
x = (u^{-3} v^{-1})^{\frac18},\quad y = u x^3 = u (u^{-3} v^{-1})^{\frac38} = u^{-\frac18} v^{-\frac38}
$$
雅可比计算：先取对数求偏导较方便，或直接计算得
$$
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{8} u^{-\frac12} v^{-\frac12}
$$
（详细计算略，结果对称）
于是面积
$$
A = \iint_D dx\,dy = \int_{u=1}^{4} \int_{v=1}^{4} \frac{1}{8} u^{-\frac12} v^{-\frac12}\,dv\,du
$$
先对 $v$：
$$
\int_{1}^{4} v^{-\frac12}\,dv = \left[2 v^{\frac12}\right]_{1}^{4} = 2(2-1)=2
$$
再对 $u$：
$$
\int_{1}^{4} u^{-\frac12}\,du = 2
$$
相乘得
$$
A = \frac18 \cdot 2 \cdot 2 = \frac12
$$
故第二问面积为 $\displaystyle \frac12$。
难度：★★★☆☆
（需熟练运用变量变换与雅可比行列式，但计算量适中）