同济高数 第10章 第10-2-*21题

[AI解答]

[AI解答]
我们要求证
$$
\iint_{D} \cos\left(\frac{x-y}{x+y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac12 \sin 1,
$$
其中 $D$ 是由直线 $x=0, y=0, x+y=1$ 围成的三角形区域。

第一步：变量变换
令
$$
u = x+y,\quad v = x-y.
$$
则反解出
$$
x = \frac{u+v}{2},\quad y = \frac{u-v}{2}.
$$
区域 $D$ 的边界为：
- $x=0 \Rightarrow u+v=0$，
- $y=0 \Rightarrow u-v=0$，
- $x+y=1 \Rightarrow u=1$。
并且由于 $x\ge0, y\ge0$，可得 $u\ge |v|$。
因此新区域 $D'$ 为
$$
0 \le u \le 1,\quad -u \le v \le u.
$$

第二步：计算雅可比行列式
变换的雅可比矩阵为
$$
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =
\begin{vmatrix}
\frac12 & \frac12 \$$2pt]
\frac12 & -\frac12
\end{vmatrix}
= -\frac12.
$$
故
$$
|\det J| = \frac12.
$$

第三步：变换积分
被积函数为
$$
\cos\left(\frac{x-y}{x+y}\right) = \cos\left(\frac{v}{u}\right).
$$
于是积分变为
$$
\iint_{D} \cos\left(\frac{x-y}{x+y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
= \int_{u=0}^{1} \int_{v=-u}^{u} \cos\left(\frac{v}{u}\right) \cdot \frac12 \,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u.
$$

**第四步：先对 $v$ 积分**
固定 $u>0$，计算内层积分：
$$
\int_{-u}^{u} \cos\left(\frac{v}{u}\right) \mathrm{d}v
= \left[ u \sin\left(\frac{v}{u}\right) \right]_{v=-u}^{v=u}
= u\big(\sin 1 - \sin(-1)\big) = 2u \sin 1.
$$
因此
$$
\iint_{D} \cdots = \frac12 \int_{0}^{1} 2u \sin 1 \,\mathrm{d}u
= \sin 1 \int_{0}^{1} u \,\mathrm{d}u.
$$

第五步：计算最后积分
$$
\int_{0}^{1} u \,\mathrm{d}u = \frac12,
$$
所以结果为
$$
\frac12 \sin 1.
$$

证毕。

难度：★★☆☆☆