同济高数 第10章 第10-4-2题
📝 题目
2．求雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $z^{2}=2 x$ 所割下部分的曲面面积．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求曲面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 被柱面 $z^2 = 2x$ 所割下部分的面积。
首先分析两个曲面的交线。由 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 和 $z^2 = 2x$ 可得
$$
x^2 + y^2 = 2x \quad\Rightarrow\quad (x-1)^2 + y^2 = 1.
$$
因此交线在 $xy$ 平面上的投影是圆心在 $(1,0)$、半径为 $1$ 的圆。
曲面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 是锥面，其面积元素为
$$
dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy.
$$
计算偏导数：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}},\quad
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}.
$$
于是
$$
1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = 1 + \frac{x^2}{x^2+y^2} + \frac{y^2}{x^2+y^2} = 1 + 1 = 2.
$$
所以
$$
dS = \sqrt{2}\,dx\,dy.
$$
所求曲面面积即为在投影区域 $D: (x-1)^2 + y^2 \le 1$ 上的积分：
$$
A = \iint_D \sqrt{2}\,dx\,dy = \sqrt{2} \cdot \text{Area}(D).
$$
区域 $D$ 是半径为 $1$ 的圆，面积为 $\pi \cdot 1^2 = \pi$。
因此
$$
A = \sqrt{2}\,\pi.
$$
难度评级：★★☆☆☆
（计算步骤直接，只需识别投影区域与面积元素，属于中等偏易的曲面积分题。）