同济高数 第10章 第10-4-3题
📝 题目
3．求底圆半径相等的两个直交圆柱面 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 及 $x^{2}+z^{2}=R^{2}$ 所围立体的表面积．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求的是两个底圆半径均为 $R$ 的直交圆柱面
$$
x^{2}+y^{2}=R^{2},\quad x^{2}+z^{2}=R^{2}
$$
所围成立体的表面积。由于对称性，只需计算第一卦限部分的面积再乘以16即可。
第一步：确定第一卦限的曲面方程及投影区域
在第一卦限中，考虑圆柱面
$$
x^{2}+z^{2}=R^{2}
$$
即
$$
z = \sqrt{R^{2} - x^{2}}
$$
该曲面在 $xOy$ 平面上的投影区域由另一个圆柱面 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 以及 $x\ge 0, y\ge 0$ 决定，即
$$
D: 0 \le x \le R,\quad 0 \le y \le \sqrt{R^{2} - x^{2}}
$$
第二步：曲面面积公式
曲面 $z=f(x,y)=\sqrt{R^{2}-x^{2}}$ 的面积微元为
$$
dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}} \, dx\,dy
$$
计算偏导数：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=0
$$
于是
$$
\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}} = \sqrt{1+\frac{x^{2}}{R^{2}-x^{2}}} = \sqrt{\frac{R^{2}}{R^{2}-x^{2}}} = \frac{R}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}
$$
第三步：第一卦限内的一块曲面面积
$$
S_{1} = \iint_{D} \frac{R}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}\,dx\,dy
$$
先对 $y$ 积分，区域 $D$ 中 $y$ 从 $0$ 到 $\sqrt{R^{2}-x^{2}}$：
$$
S_{1} = \int_{0}^{R} \frac{R}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}} \left( \int_{0}^{\sqrt{R^{2}-x^{2}}} dy \right) dx
= \int_{0}^{R} \frac{R}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}} \cdot \sqrt{R^{2}-x^{2}} \, dx
$$
化简得：
$$
S_{1} = \int_{0}^{R} R \, dx = R \cdot R = R^{2}
$$
第四步：总表面积
整个立体表面由8个对称的第一卦限曲面片组成（两个圆柱面各贡献4个相同曲面片），因此总表面积为
$$
S = 8 \times S_{1} = 8R^{2}
$$
最终答案：
$$
\boxed{8R^{2}}
$$
难度评级：★★★☆☆
（需要空间想象能力及曲面积分对称性处理，但计算过程简洁）