同济高数 第11章 第11-1-3题
📝 题目
3．计算下列对弧长的曲线积分：
（1）$\displaystyle{\oint}_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为圆周 $x=a \cos t, y=a \sin t(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ ；
（2） $\displaystyle{\int}_{L}(x+y) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 为连接 $(1,0)$ 及 $(0,1)$ 两点的直线段；
（3）$\displaystyle{\oint}_{L} x \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为由直线 $y=x$ 及抛物线 $y=x^{2}$ 所围成的区域的整个边界；
（4）$\displaystyle{\oint}_{L} \mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ，直线 $y=x$ 及 $x$ 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
（5） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为曲线 $x=\mathrm{e}^{t} \cos t, y=\mathrm{e}^{t} \sin t, z=\mathrm{e}^{t}$ 上相应于 $t$ 从 0 变到 2 的这段弧；
（6） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} x^{2} y z \mathrm{~d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为折线 $A B C D$ ，这里 $A, B, C, D$ 依次为点 $(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)$ ；
（7） $\displaystyle{\int}_{L} y^{2} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为摆线的一拱 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ ；
（8） $\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 为曲线 $x=a(\cos t+t \sin t), y=a(\sin t-t \cos t) \quad(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下为各小题的详细解答过程。
---
（1）
曲线为圆周，参数方程为
$$
x = a\cos t,\quad y = a\sin t,\quad 0 \le t \le 2\pi
$$
弧长微元
$$
\mathrm{d}s = \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2}\,\mathrm{d}t
= \sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2}\,\mathrm{d}t = a\,\mathrm{d}t
$$
被积函数
$$
(x^2 + y^2)^n = (a^2\cos^2 t + a^2\sin^2 t)^n = (a^2)^n = a^{2n}
$$
因此
$$
\oint_L (x^2 + y^2)^n \mathrm{d}s
= \int_0^{2\pi} a^{2n} \cdot a\,\mathrm{d}t
= a^{2n+1} \int_0^{2\pi} \mathrm{d}t
= 2\pi a^{2n+1}
$$
难度：★★☆☆☆
---
（2）
连接 $(1,0)$ 与 $(0,1)$ 的直线段方程为
$$
x + y = 1,\quad 0 \le x \le 1
$$
取 $x$ 为参数，则 $y = 1 - x$，
$$
\mathrm{d}s = \sqrt{1 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2}\,\mathrm{d}x
= \sqrt{1 + (-1)^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{2}\,\mathrm{d}x
$$
被积函数
$$
x + y = x + (1 - x) = 1
$$
所以
$$
\int_L (x+y)\,\mathrm{d}s
= \int_0^1 1 \cdot \sqrt{2}\,\mathrm{d}x
= \sqrt{2}
$$
难度：★☆☆☆☆
---
（3）
区域由 $y = x$ 与 $y = x^2$ 围成，交点 $(0,0)$ 与 $(1,1)$。
边界分为两段：
- 曲线 $y = x^2$，从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$：
$$
\mathrm{d}s = \sqrt{1 + (2x)^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{1 + 4x^2}\,\mathrm{d}x
$$
积分
$$
\int_{L_1} x\,\mathrm{d}s = \int_0^1 x\sqrt{1+4x^2}\,\mathrm{d}x
$$
令 $u = 1 + 4x^2$，$\mathrm{d}u = 8x\,\mathrm{d}x$，则
$$
= \frac{1}{8}\int_1^5 u^{1/2}\,\mathrm{d}u
= \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}(5^{3/2} - 1)
= \frac{5\sqrt{5} - 1}{12}
$$
- 直线 $y = x$，从 $(1,1)$ 到 $(0,0)$：
$$
\mathrm{d}s = \sqrt{1 + 1^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{2}\,\mathrm{d}x
$$
注意方向从 $x=1$ 到 $x=0$，积分
$$
\int_{L_2} x\,\mathrm{d}s = \int_1^0 x\sqrt{2}\,\mathrm{d}x
= \sqrt{2}\left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^0
= -\frac{\sqrt{2}}{2}
$$
取绝对值（弧长积分与方向无关），实际应为
$$
\int_{L_2} x\,\mathrm{d}s = \int_0^1 x\sqrt{2}\,\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$
因此
$$
\oint_L x\,\mathrm{d}s = \frac{5\sqrt{5} - 1}{12} + \frac{\sqrt{2}}{2}
$$
难度：★★★☆☆
---
（4）
扇形边界由三部分组成：
1. 圆弧 $x^2 + y^2 = a^2$，从 $(a,0)$ 到 $(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{a}{\sqrt{2}})$，角度 $0 \to \frac{\pi}{4}$：
$$
\mathrm{d}s = a\,\mathrm{d}\theta,\quad \mathrm{e}^{\sqrt{x^2+y^2}} = \mathrm{e}^a
$$
积分
$$
\int_0^{\pi/4} \mathrm{e}^a \cdot a\,\mathrm{d}\theta = \frac{\pi a}{4}\mathrm{e}^a
$$
2. 直线 $y = x$，从 $(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{a}{\sqrt{2}})$ 到 $(0,0)$：
参数化 $x = t, y = t$，$0 \le t \le \frac{a}{\sqrt{2}}$，
$$
\mathrm{d}s = \sqrt{2}\,\mathrm{d}t,\quad \mathrm{e}^{\sqrt{x^2+y^2}} = \mathrm{e}^{\sqrt{2}t}
$$
积分
$$
\int_0^{a/\sqrt{2}} \mathrm{e}^{\sqrt{2}t}\sqrt{2}\,\mathrm{d}t
= \left[ \mathrm{e}^{\sqrt{2}t} \right]_0^{a/\sqrt{2}}
= \mathrm{e}^a - 1
$$
3. $x$ 轴从 $(0,0)$ 到 $(a,0)$：
$y=0$，$\mathrm{d}s = \mathrm{d}x$，$\mathrm{e}^{\sqrt{x^2}} = \mathrm{e}^x$，
$$
\int_0^a \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{e}^a - 1
$$
总和
$$
\oint_L \mathrm{e}^{\sqrt{x^2+y^2}}\,\mathrm{d}s
= \frac{\pi a}{4}\mathrm{e}^a + 2(\mathrm{e}^a - 1)
$$
难度：★★★☆☆
---
（5）
曲线
$$
x = \mathrm{e}^t\cos t,\quad y = \mathrm{e}^t\sin t,\quad z = \mathrm{e}^t
$$
求导
$$
x' = \mathrm{e}^t(\cos t - \sin t),\quad
y' = \mathrm{e}^t(\sin t + \cos t),\quad
z' = \mathrm{e}^t
$$
则
$$
(x')^2 + (y')^2 + (z')^2
= \mathrm{e}^{2t}[(\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2 + 1]
= \mathrm{e}^{2t}[2 + 1] = 3\mathrm{e}^{2t}
$$
所以
$$
\mathrm{d}s = \sqrt{3}\,\mathrm{e}^t\,\mathrm{d}t
$$
被积函数
$$
\frac{1}{x^2 + y^2 + z^2}
= \frac{1}{\mathrm{e}^{2t}\cos^2 t + \mathrm{e}^{2t}\sin^2 t + \mathrm{e}^{2t}}
= \frac{1}{\mathrm{e}^{2t}(1+1)}?
$$
检查：
$$
x^2 + y^2 = \mathrm{e}^{2t}(\cos^2 t + \sin^2 t) = \mathrm{e}^{2t}
$$
加上 $z^2 = \mathrm{e}^{2t}$，得 $2\mathrm{e}^{2t}$，所以
$$
\frac{1}{x^2+y^2+z^2} = \frac{1}{2\mathrm{e}^{2t}}
$$
积分
$$
\int_0^2 \frac{1}{2\mathrm{e}^{2t}} \cdot \sqrt{3}\,\mathrm{e}^t\,\mathrm{d}t
= \frac{\sqrt{3}}{2} \int_0^2 \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t
= \frac{\sqrt{3}}{2}(1 - \mathrm{e}^{-2})
$$
难度：★★★☆☆
---
（6）
折线 $A(0,0,0) \to B(0,0,2) \to C(1,0,2) \to D(1,3,2)$，分段计算：
- $AB$：$x=0,y=0,z=t$，$0 \le t \le 2$，$\mathrm{d}s = \mathrm{d}t