同济高数 第11章 第11-1-4题

教材习题

📝 题目

4．求半径为 $a$ 、圆心角为 $2 \varphi$ 的均匀圆弧（线密度 $\mu=1$ ）的质心．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]
我们考虑半径为 $a$、圆心角为 $2\varphi$ 的均匀圆弧，线密度 $\mu = 1$。建立坐标系，使圆弧关于 $x$ 轴对称，圆心位于原点，弧的端点对应的角度分别为 $-\varphi$ 和 $\varphi$。

由于对称性，质心的纵坐标 $ \bar{y} = 0$，只需计算横坐标 $\bar{x}$。

设弧长为 $L$，则
$$
L = 2a\varphi
$$
质心横坐标公式为
$$
\bar{x} = \frac{1}{L} \int_{\text{弧}} x \, ds
$$
在极坐标下，圆弧上一点坐标为
$$
x = a\cos\theta,\quad ds = a\, d\theta
$$
积分范围为 $\theta \in [-\varphi, \varphi]$，于是
$$
\bar{x} = \frac{1}{2a\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} (a\cos\theta) \cdot a\, d\theta
= \frac{a}{2\varphi} \int_{-\varphi}^{\varphi} \cos\theta \, d\theta
$$
由于 $\cos\theta$ 是偶函数，有
$$
\int_{-\varphi}^{\varphi} \cos\theta \, d\theta = 2\int_{0}^{\varphi} \cos\theta \, d\theta = 2\sin\varphi
$$
因此
$$
\bar{x} = \frac{a}{2\varphi} \cdot 2\sin\varphi = \frac{a\sin\varphi}{\varphi}
$$
所以质心坐标为
$$
\left( \frac{a\sin\varphi}{\varphi},\ 0 \right)
$$

难度评级：★★☆☆☆
（涉及对称性简化与弧长积分，计算直接，但需理解质心公式与极坐标弧微分）

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：建立坐标系并利用对称性简化问题
将圆弧置于坐标系中，使圆心位于原点，圆弧关于x轴对称，端点对应的角度分别为-φ和φ。由于对称性，质心的纵坐标ȳ=0，只需计算横坐标x̄。
提示：对称性可简化计算，注意坐标系的选取。
步骤 2/6
目标：计算弧长L
圆弧半径为a，圆心角为2φ，弧长L = a × (2φ) = 2aφ。
公式：L = 2aφ
提示：弧长公式：L = rθ，θ为弧度。
步骤 3/6
目标：写出质心横坐标公式
质心横坐标x̄ = (1/L) ∫_弧 x ds，其中ds为弧微分。
公式：x̄ = (1/L) ∫ x ds
提示：线密度μ=1，故质量等于弧长。
步骤 4/6
目标：将积分转化为极坐标形式
在极坐标下，圆弧上一点坐标x = a cosθ，弧微分ds = a dθ，积分范围θ∈[-φ, φ]。代入得：x̄ = (1/(2aφ)) ∫_{-φ}^{φ} (a cosθ)·a dθ = (a/(2φ)) ∫_{-φ}^{φ} cosθ dθ。
公式：x = a cosθ, ds = a dθ
提示：注意弧微分公式在极坐标下的形式。
步骤 5/6
目标：计算积分
由于cosθ是偶函数，∫_{-φ}^{φ} cosθ dθ = 2∫_{0}^{φ} cosθ dθ = 2 sinφ。因此x̄ = (a/(2φ)) × 2 sinφ = (a sinφ)/φ。
公式：∫ cosθ dθ = sinθ
提示：利用偶函数性质简化积分。
步骤 6/6
目标：得出质心坐标
质心坐标为((a sinφ)/φ, 0)。
提示：结果仅与a和φ有关。

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