同济高数 第11章 第11-4-6题
📝 题目
6．计算下列对面积的曲面积分：
（1） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(z+2 x+\frac{4}{3} y\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为平面 $\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$ 在第 I 卦限中的部分；
（2） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(2 x y-2 x^{2}-x+z\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为平面 $2 x+2 y+z=6$ 在第 I 卦限中的部分；
（3） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 上 $z \geqslant h(0\lt h\lt a)$ 的部分；
（4） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}(x y+y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $x^{2}+y^{2}=2 a x$ 所截得的有限部分．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
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（1）
曲面 $\Sigma$ 为平面 $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$ 在第 I 卦限部分，即
$$
z = 4\left(1 - \frac{x}{2} - \frac{y}{3}\right) = 4 - 2x - \frac{4}{3}y
$$
且 $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$，即
$$
x \ge 0,\quad y \ge 0,\quad 2x + \frac{4}{3}y \le 4
$$
即
$$
x \ge 0,\quad y \ge 0,\quad 3x + 2y \le 6
$$
曲面为平面，面积元
$$
\mathrm{d}S = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y
$$
这里
$$
z_x = -2,\quad z_y = -\frac{4}{3}
$$
所以
$$
\sqrt{1 + (-2)^2 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + 4 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{9+36+16}{9}} = \sqrt{\frac{61}{9}} = \frac{\sqrt{61}}{3}
$$
被积函数为
$$
z + 2x + \frac{4}{3}y = \left(4 - 2x - \frac{4}{3}y\right) + 2x + \frac{4}{3}y = 4
$$
因此积分化为
$$
\iint_{\Sigma} 4\,\mathrm{d}S = 4 \cdot \frac{\sqrt{61}}{3} \iint_{D} \mathrm{d}x\mathrm{d}y
$$
其中 $D$ 为 $x\ge0, y\ge0, 3x+2y\le6$，其面积为
$$
\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 3 = 3
$$
所以
$$
\text{原式} = 4 \cdot \frac{\sqrt{61}}{3} \cdot 3 = 4\sqrt{61}
$$
答案：
$$
\boxed{4\sqrt{61}}
$$
---
（2）
曲面 $\Sigma$：平面 $2x+2y+z=6$ 在第 I 卦限部分，即
$$
z = 6 - 2x - 2y
$$
且 $x\ge0, y\ge0, z\ge0$，即
$$
x\ge0,\quad y\ge0,\quad x+y\le3
$$
面积元
$$
z_x = -2,\quad z_y = -2,\quad \sqrt{1+4+4} = 3
$$
所以 $\mathrm{d}S = 3\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
被积函数
$$
2xy - 2x^2 - x + z = 2xy - 2x^2 - x + (6-2x-2y)
$$
化简为
$$
2xy - 2x^2 - 3x - 2y + 6
$$
积分
$$
I = \iint_{D} \left(2xy - 2x^2 - 3x - 2y + 6\right) \cdot 3\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y
$$
其中 $D: 0\le x\le 3, 0\le y\le 3-x$
先对 $y$ 积分：
$$
\int_{0}^{3-x} (2xy - 2y)\,\mathrm{d}y = \left[ xy^2 - y^2 \right]_{0}^{3-x} = (x-1)(3-x)^2
$$
常数项与 $x$ 项：
$$
\int_{0}^{3-x} (-2x^2 - 3x + 6)\,\mathrm{d}y = (-2x^2 - 3x + 6)(3-x)
$$
所以内层积分结果为
$$
(x-1)(3-x)^2 + (-2x^2 - 3x + 6)(3-x)
$$
展开 $(x-1)(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x - x^2 + 6x - 9 = x^3 - 7x^2 + 15x - 9$
另一部分：$(-2x^2 - 3x + 6)(3-x) = (-2x^2 - 3x + 6)\cdot 3 - (-2x^2 - 3x + 6)x$
先算：
$$
= -6x^2 - 9x + 18 + 2x^3 + 3x^2 - 6x = 2x^3 - 3x^2 - 15x + 18
$$
相加得
$$
(x^3 - 7x^2 + 15x - 9) + (2x^3 - 3x^2 - 15x + 18) = 3x^3 - 10x^2 + 0x + 9
$$
于是
$$
I = 3 \int_{0}^{3} (3x^3 - 10x^2 + 9)\,\mathrm{d}x
$$
计算：
$$
\int_{0}^{3} 3x^3\,\mathrm{d}x = \frac{3}{4}\cdot 81 = \frac{243}{4}
$$
$$
\int_{0}^{3} -10x^2\,\mathrm{d}x = -10\cdot 9 = -90
$$
$$
\int_{0}^{3} 9\,\mathrm{d}x = 27
$$
和为
$$
\frac{243}{4} - 90 + 27 = \frac{243}{4} - 63 = \frac{243 - 252}{4} = -\frac{9}{4}
$$
乘以 3 得
$$
I = -\frac{27}{4}
$$
答案：
$$
\boxed{-\frac{27}{4}}
$$
---
（3）
曲面 $\Sigma$：球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 上 $z\ge h$ 部分，$0
用球坐标：
$$
x = a\sin\varphi\cos\theta,\quad y = a\sin\varphi\sin\theta,\quad z = a\cos\varphi
$$
曲面面积元
$$
\mathrm{d}S = a^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta
$$
条件 $z\ge h$ 即 $a\cos\varphi \ge h$，即 $\cos\varphi \ge \frac{h}{a}$，所以
$$
0 \le \varphi \le \arccos\left(\frac{h}{a}\right)
$$
$\theta$ 范围 $0\le\theta\le 2\pi$
被积函数
$$
x+y+z = a\sin\varphi(\cos\theta+\sin\theta) + a\cos\varphi
$$
积分
$$
I = \iint_{\Sigma} (x+y+z)\,\mathrm{d}S = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\varphi_0} \big[a\sin\varphi(\cos\theta+\sin\theta) + a\cos\varphi\big] a^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta
$$
其中 $\varphi_0 = \arccos(h/a)$
先对 $\theta$ 积分：
$$
\int_{0}^{2\pi} (\cos\theta+\sin\theta)\,\mathrm{d}\theta = 0
$$
所以含 $\sin\varphi(\cos\theta+\sin\theta)$ 项积分为 0。
剩下
$$
I = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\varphi_0} a\cos\varphi \cdot a^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta
= 2\pi a^3 \int_{0}^{\varphi_0} \cos\varphi\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi
$$
而
$$
\int \cos\varphi\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi = \frac{1}{2}\sin^2\varphi
$$
代入上下限：
$$
\frac{1}{2}\left[\sin^2\varphi_0 - 0\right] = \frac{1}{2}\left(1 - \cos^2\varphi_0\right) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{h^2}{a^2}\right)
$$
所以
$$
I = 2\pi a^3 \cdot \frac{1}{2}\left(1 - \frac{h^2}{a^2}\right) = \pi a (a^2 - h^2)
$$
答案：
$$
\boxed{\pi a (a^2
用球坐标：
$$
x = a\sin\varphi\cos\theta,\quad y = a\sin\varphi\sin\theta,\quad z = a\cos\varphi
$$
曲面面积元
$$
\mathrm{d}S = a^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta
$$
条件 $z\ge h$ 即 $a\cos\varphi \ge h$，即 $\cos\varphi \ge \frac{h}{a}$，所以
$$
0 \le \varphi \le \arccos\left(\frac{h}{a}\right)
$$
$\theta$ 范围 $0\le\theta\le 2\pi$
被积函数
$$
x+y+z = a\sin\varphi(\cos\theta+\sin\theta) + a\cos\varphi
$$
积分
$$
I = \iint_{\Sigma} (x+y+z)\,\mathrm{d}S = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\varphi_0} \big[a\sin\varphi(\cos\theta+\sin\theta) + a\cos\varphi\big] a^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta
$$
其中 $\varphi_0 = \arccos(h/a)$
先对 $\theta$ 积分：
$$
\int_{0}^{2\pi} (\cos\theta+\sin\theta)\,\mathrm{d}\theta = 0
$$
所以含 $\sin\varphi(\cos\theta+\sin\theta)$ 项积分为 0。
剩下
$$
I = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\varphi_0} a\cos\varphi \cdot a^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta
= 2\pi a^3 \int_{0}^{\varphi_0} \cos\varphi\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi
$$
而
$$
\int \cos\varphi\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi = \frac{1}{2}\sin^2\varphi
$$
代入上下限：
$$
\frac{1}{2}\left[\sin^2\varphi_0 - 0\right] = \frac{1}{2}\left(1 - \cos^2\varphi_0\right) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{h^2}{a^2}\right)
$$
所以
$$
I = 2\pi a^3 \cdot \frac{1}{2}\left(1 - \frac{h^2}{a^2}\right) = \pi a (a^2 - h^2)
$$
答案：
$$
\boxed{\pi a (a^2