同济高数 第11章 第11-4-7题
📝 题目
7．求抛物面壳 $\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的质量，此壳的面密度为 $\mu=z$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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步骤1：确定积分区域与曲面方程
抛物面壳方程为
$$
z = \frac{1}{2}(x^2 + y^2), \quad 0 \le z \le 1.
$$
当 $z=1$ 时，有
$$
1 = \frac{1}{2}(x^2 + y^2) \quad\Rightarrow\quad x^2 + y^2 = 2.
$$
因此曲面在 $xy$ 平面上的投影区域 $D$ 为圆盘：
$$
D = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \le 2\}.
$$
步骤2：曲面质量公式
质量
$$
M = \iint_{S} \mu \, dS = \iint_{S} z \, dS.
$$
对于显式曲面 $z = f(x,y)$，面积微元
$$
dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dx\,dy.
$$
计算偏导数：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = x,\quad \frac{\partial z}{\partial y} = y,
$$
所以
$$
\sqrt{1 + x^2 + y^2}.
$$
于是
$$
M = \iint_{D} z \sqrt{1 + x^2 + y^2} \, dx\,dy.
$$
而 $z = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)$，代入得
$$
M = \iint_{D} \frac{1}{2}(x^2 + y^2) \sqrt{1 + x^2 + y^2} \, dx\,dy.
$$
步骤3：化为极坐标
令 $x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta$，则 $x^2 + y^2 = r^2$，面积元 $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$，积分区域 $0 \le r \le \sqrt{2},\; 0 \le \theta \le 2\pi$。
于是
$$
M = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{1}{2} r^2 \sqrt{1 + r^2} \cdot r \, dr
= \frac{1}{2} \cdot 2\pi \int_{0}^{\sqrt{2}} r^3 \sqrt{1 + r^2} \, dr.
$$
即
$$
M = \pi \int_{0}^{\sqrt{2}} r^3 \sqrt{1 + r^2} \, dr.
$$
步骤4：计算定积分
令 $t = 1 + r^2$，则 $dt = 2r\,dr$，且 $r^2 = t - 1$，$r^3 dr = r^2 \cdot r\,dr = (t-1) \cdot \frac{1}{2} dt$。
当 $r = 0$ 时 $t = 1$；当 $r = \sqrt{2}$ 时 $t = 3$。
于是
$$
\int_{0}^{\sqrt{2}} r^3 \sqrt{1 + r^2} \, dr
= \int_{1}^{3} (t-1) \sqrt{t} \cdot \frac{1}{2} dt
= \frac{1}{2} \int_{1}^{3} \left( t^{3/2} - t^{1/2} \right) dt.
$$
计算：
$$
\int t^{3/2} dt = \frac{2}{5} t^{5/2},\quad
\int t^{1/2} dt = \frac{2}{3} t^{3/2}.
$$
所以
$$
\frac{1}{2} \left[ \frac{2}{5} t^{5/2} - \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_{1}^{3}
= \left[ \frac{1}{5} t^{5/2} - \frac{1}{3} t^{3/2} \right]_{1}^{3}.
$$
代入上下限：
当 $t=3$：
$$
\frac{1}{5} \cdot 3^{5/2} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3/2}
= \frac{1}{5} \cdot 9\sqrt{3} - \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3}
= \frac{9\sqrt{3}}{5} - \sqrt{3}
= \frac{9\sqrt{3} - 5\sqrt{3}}{5}
= \frac{4\sqrt{3}}{5}.
$$
当 $t=1$：
$$
\frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{15}.
$$
相减得
$$
\frac{4\sqrt{3}}{5} - \left(-\frac{2}{15}\right) = \frac{4\sqrt{3}}{5} + \frac{2}{15}
= \frac{12\sqrt{3}}{15} + \frac{2}{15}
= \frac{12\sqrt{3} + 2}{15}.
$$
步骤5：得到质量
因此
$$
M = \pi \cdot \frac{12\sqrt{3} + 2}{15}
= \frac{\pi (12\sqrt{3} + 2)}{15}
= \frac{2\pi (6\sqrt{3} + 1)}{15}.
$$
最终答案
$$
\boxed{M = \frac{2\pi (6\sqrt{3} + 1)}{15}}
$$
难度：★★☆☆☆